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Bonjour à toi Lonn,

Si tu as bien compris le cours, le plus simple serait encore que tu nous donnes un exercice sur lequel tu sèches. Si tu n'as aucun exercice sur les fonctions de Liapounov en voici un très simple, purement algébrique :

On se donne l'ED suivante dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] :
[tex]\left\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=\lambda x \\ \dot{y}(t)=\mu y\end{array}\right.[/tex]
où disons [tex]\lambda<\mu<0[/tex] (de sorte que 0 est un point d'équilibre stable), et [tex]Q=\left[\begin{array}{cc}a & b \\ b & c\end{array}\right][/tex] une forme quadratique (i.e. [tex]Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2[/tex]). À quelle(s) condition(s) sur les données [tex]Q[/tex] est-elle de Liapounov pour ce système ?

Si celui-ci ne te pose pas de problème, alors tu maîtrises le cours. La grosse difficulté dans la pratique des fonctions de Liapounov, c'est qu'il faut parvernir à les construire avant de les utiliser... et là bin c'est souvent beaucoup de système D (linéarisation+bidouillage).

GK

EDIT : valeurs modifiées, j'ai confondu opérateur et champ de vecteurs ^^