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jdec
21-08-2012 16:26:56

bonjour,

Salut lonn, faut calculer des aires et trouver un nombre

lonn
15-08-2012 11:50:33

Salut
j'avoue que j'ai pas  compris le sujet...

totomm
14-08-2012 17:35:46

Bonjour,

On montre même que l'aire du triangle CDE est inférieure à 1,5...

comment trouver caché "un nombre aux harmonieuses proportions ..." ?

Cordialement

totomm
29-07-2012 17:00:43

Bonjour,

Depuis un WIFI occasionnel, voici une démo qu'il faudrait sans doute "étoffer" :

Si l'enveloppe convexe des 5 points non alignés comporte seulement 3 ou 4 de ces points, la preuve est immédiate car au moins 2 triangles, inclus dans un même triangle, ont des aires disjointes.

Soit donc un pentagone convexe ABCDE  avec A de coordonnées (0;0) et B de coordonnées (a;0) et C, D, E d'ordonnées positives.
Hypothèse : Supposons que chaque triangle, d'aire supérieure à 2, a une aire inférieure à 3 :

Les points C, D et E doivent se trouver dans la bande des ordonnées comprises entre 4/a et 6/a pour que les aires des triangles CAB, DAB, EAB soient comprises entre 2 et 3.
Une bande analogue créée à partir du coté BC impose la position de E dans un parallélogramme et limite la taille du segment CE.
Alors, dans le quadrilatère ABCE, les 4 triangles ont une aire supérieure à 2 et inférieure à 3.
On montre alors (analytiquement) que l'aire du triangle CDE reste inférieure à 2, (car hauteur sur base sont limitées) ce qui contredit l'hypothèse.

Il existe vraisemblablement une meilleure solution, mais en regardant géométriquement peut-être un peu vite, cette approche parait viable.

Cordialement

jpp
27-07-2012 11:03:18

re.

@freddy  dans mon pentagone régulier , les angles à la base des 2 familles de triangles isocèles sont 36°et 108° au sommet pour les petits

et  72° à la base avec 36° au sommet pour les cinq grands , car j'ai pris le coté du pentagone comme unité. et le rapport de leurs aires se trouve etre la divine proportion ou nombre d'or.

le rapport [tex]\frac{A_2}{A_1}=\frac{\frac{\Phi.\cos{18}}{2}}{\frac{\Phi.\sin{36}}{2}}=\frac{\Phi}{\Phi\times{2.\sin{18}}}       =\frac{\Phi^2}{\Phi}=\Phi=\frac{\sqrt5+1}{2}\approx1.618034[/tex]  en rappelant que la diagonale d'un pentagone régulier mesure [tex]c\times\Phi[/tex]  ,  c  étant le coté égal à 1 dans mon calcul.

                                                                                                      à plus.

freddy
27-07-2012 10:44:37

Salut JPP,

pourrais tu stp être plus explicite ? D'où viennent les angles, les formules ? j'avoue ne pas avoir eu la patience de tout lire avec attention.

PS : En cours, tu aurais un chahut monstre :-)))

jpp
27-07-2012 08:50:06

salut.

▼une réponse

cinq points  quelconques sur le plan , nous permet de tracer 10 triangles en combinatoire.
maintenant si je place ces 5 points sur un cercle et si je les dispose de façon à obtenir un pentagone régulier de coté 1, alors je peux ainsi tracer tous mes triangles en joignant tous ces points . j'obtiens ainsi 5 triangles dont l'aire est:

[tex]A_1 = \frac{1\times{\cos{54}}}{2}\times2\times{\cos{36}}\approx 0.47552825815...[/tex]

en rappelant tout de meme que les diagonales ont pour longueur le nombre d'or  [tex]2.\cos{36}[/tex]

puis cinq triangles dont l'aire est [tex]A_2 = \cos{18}\times{\cos{36}}\approx0.76942088429.. [/tex] .

on s'aperçoit que le rapport des aires A_2 / A_1  est aussi le nombre d'or : 1.6180339.. 

maintenant , si je ramène ma figure à une échelle telle que l'aire A_1 soit égale à 2 , alors [tex]A_2 = 2.\Phi\approx3.2>3[/tex]

ça c'est le cas ou j'obtimise le plus petit rapport .
maintenant , si je déplace un sommet parallèlement à son coté opposé , l'aire A_2 reste constante , mais une aire voisine diminue.

et comme la plus petite aire doit etre 2 , alors le rapport A_2 / A_1 augmente.

                                                                                                                   à plus.

freddy
25-07-2012 15:02:08

Hello tutti,

un petit sujet de géométrie (mais attention, qui demande une démonstration mathématique tout de même - j'me comprends) ... Et encore merci à Phil au passage.

Supposons 5 points distincts et non alignés sur le plan.

Supposons que l'aire de chaque triangle qu'on peut former à partir de 3 de ces 5 points soit chacune supérieure à 2.

Sauriez vous montrer qu'il existe alors au moins un triangle dont l'aire est supérieure à 3 ?

NB : dernière la preuve se cache très, très bien un nombre aux harmonieuses proportions ...

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