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freddy
19-04-2012 16:54:50
anonyme a écrit :

on utilise le calcul des limites pas intégrale f(k/n)... et aussi la dérivation de racine de u(x)
en fin de compte ca donne -1

Salut,

non, la bonne réponse est donnée par Fred et jpp !

anonyme
19-04-2012 12:38:20

on utilise le calcul des limites pas intégrale f(k/n)... et aussi la derivation de racine de u(x)
en fin de compte ca donne -1

Saphir
27-01-2012 23:29:02
Golgup a écrit :

Messieurs bonsoir,



La fureur des maths saura-t-elle vous faire calculer


[tex] \lim_{n \to +\infty} \,\,\frac{1}{i\times n}\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{k}{n}-1\right)}^{2}-1}}[/tex]     !?!?   



(ou i est Le complexe)

à toute

...et elle saura même faire en sorte qu'on puisse l'utiliser pour notre Empire
bon eh bien quand on est poli on dit merci alors merci

Golgup
27-01-2012 22:48:41

bonjour,

Hé oui, je crois que jpp tient la belle...

Je disais que ce n’était pas une somme de Riemann parce que pour poser le problème j'ai considérer d'abord, la longueur d'une droite de fonction affine entre [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex],  qui est   [tex]{l}_{\alpha ,\beta }=\,[/tex][tex]\left(\beta -\alpha \right)\sqrt{{y}^{{'}^{2}}+1}[/tex]

De là, la longueur de n'importe quelle courbe positive entre X et Y (X<Y) vaut donc

[tex]{L}_{X,Y}=\,{l}_{X,X+h}+\,{l}_{X+h,X+2h}+\,...\,+\,{l}_{X+kh,Y}[/tex]   lorsque h tend vers 0.

Et donc en prenant une courbe du type [tex]y=\sqrt{1-{x}^{2}}[/tex]  un morceau de courbe vaudra [tex]\pi /2[/tex]

il reste à poser proprement    [tex]h\sum^{\frac{Y-X}{h}}_{k=1}\sqrt{f{'}^{2}\left(X+kh\right)+1}[/tex]   en choisissant judicieusement  X et Y...

@+

jpp
27-01-2012 17:53:27

salut.

▼début d'une réponse

  on devrait arriver à [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]  comme ceci:
[tex]\lim_{n\to\infty} \frac{1}{i.n}\times\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{\left[\frac{k}{n} - 1\right]^2 - 1}}=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{k=1}^n\frac{1}{i.\sqrt{\left[\frac{k}{n} - 1\right]^2 - 1}}=  \frac1n \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1 - \left[\frac{k}{n} - 1\right]^2 }} [/tex]


[tex]   =  \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2\times{\left[1 - (\frac{k}{n} - 1)^2\right]}}}    =  \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{\left[2kn - k^2\right]}}      [/tex]

si je divise par n  et que je fasse intervenir la variable [tex]\frac{k}{n} = u[/tex] alors les bornes d'intégration deviennent  [tex]\frac1n = 0[/tex] pour k=1 & [tex]\frac{n}{n} = 1[/tex]  et mon intégrale devient:

[tex]\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}}du[/tex]   

puis en effectuant un changement de variable [tex]u-1= \cos{t}[/tex]  on obtient [tex]du = -\sin{t}.dt[/tex]

puis [tex]I = \int \frac{-\sin{t}}{\sin{t}}.dt  =- t =- \arccos{(u-1)} =- \arccos{\left[\frac{k}{n} - 1\right]}_0^1 = \frac{\pi}{2}[/tex]

si je n'ai pas fait d'erreur.

n.b.  en fait n est proche de l'infini  et la fonction serait assimilable à une fonction continue sur l'intervalle (0,1) pour la variable k/n   ou k prend toutes les valeurs de L'ensemble N des entiers naturels.

   


(...)

Fred
27-01-2012 14:46:00

Salut,

▼suite

Je commencerai par rentrer le i dans la racine carrée pour avoir quelque chose de toujours positif à l'intérieur.
Ensuite, ce n'est pas directement le théorème usuel sur les sommes de Riemann qu'on peut appliquer,
car on n'a pas affaire à une fonction continue sur un intervalle, mais en fait cela marche quand même....

On trouve que la somme vaut [tex]\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}dx[/tex]

Reste à calculer cette intégrale, ce qui se fait....

amatheur
27-01-2012 11:44:38

salut
@Fred, c'est la première chose à laquelle j'ai pensé, mais il y avait le i qui me dérangeait, et je ne sais pas si le concept est extensible sur le corps des complexes.

Golgup
27-01-2012 08:29:44

salut,

▼rmq

Oh non j’espère que ca n'est pas réductible à ça! Du moins, je ne les ais pas utiliser au sens strict du terme.

Fred
27-01-2012 07:54:39

Re-

  Je n'ai pas fait les calculs, mais spontanément je m'orienterais vers les

▼Indication

Fred.

Golgup
26-01-2012 23:01:53

Messieurs bonsoir,



La fureur des maths saura-t-elle vous faire calculer


[tex] \lim_{n \to +\infty} \,\,\frac{1}{i\times n}\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{k}{n}-1\right)}^{2}-1}}[/tex]     !?!?   



(ou i est Le complexe)

à toute

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