Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

jpp montre très bien l'évolution du rapport entre n² et "nombre de maisons vues" quand le point de vue est de coordonnées (0,1)

mais la démonstration que c'est le minimum pour tout n n'est pas faite.
En particulier bien des minima se trouvent au point d'observation (-1,1) et peut-être ailleurs ?...
et dans ces cas, aucune formule n'est évoquée

Donc démonstration "pour l'honneur de l'esprit humain..." en rade au tiers de son parcours... :-) bien que l'ordinateur ait suggéré que seules 4 valeurs de n conduisent à un rapport <0.60

Cordialement

bonjour.

ce matin je n'ai pas trop de temps mais je vais commencer à expliquer ceci:

tout d'abord  , on sait q'en choisissant un nombre au hazard , on a  1/p  chance qu'il soit divisible par p , premier.

donc si on en choisit 2 , donc une paire , alors on a [tex]\frac{1}{p^2}[/tex] chance qu'ils soient divisibles par p

donc [tex] 1 - \frac{1}{p^2}[/tex] chance qu'ils soient premiers entre  eux.

  donc , dans la position ( 0,0)la probabilité pour l'observateur d'apercevoir  m  maisons parmi n² maisons est

[tex]\prod_{p=2}^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \frac{6}{\pi^2} [/tex] s'approche de 0.607..

je n'ai pas trop de temps . 

autre chose , lorsque l'observateur se déplace  d'un cran vers ( 0 , 1)  , globalement il a toujours une meme vision
de la ville , la différence se trouve à la périphérie , surtout à sa droite , ou  n-1 maisons deviennent invisibles

alors  le rapport  devient  [tex]\frac{6}{\pi^2} - \frac{n-1}{n^2} ,[/tex]et s'approche de 0.6

mais  comme n est de dimension 1 et  n², de dimension 2 alors le rapport (n-1)/n²
diminuera très vite et il n'y aura plus aucune chance d'avoisiner 0.6

pour les nombres paires  16 et 22  on passe sous la barre des 0.6

(....)                                                                          à plus.

Bonsoir,

@ jpp : pour n=7, si l'observateur est en (-1,1) il y a 30 maisons vues et 19 masquées. r=0.61224

n = 7 ; pente = 0 ; masqués : 6
n = 7 ; pente = 1/4 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1/2 ; masqués : 3
n = 7 ; pente = 2/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 3/4 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1 ; masqués : 4
n = 7 ; pente = 3/2 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 2 ; masqués : 1

de même si l'observateur est en (0,1) :
n = 7 ; pente = 0 ; masqués : 6
n = 7 ; pente = 1/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1/2 ; masqués : 2
n = 7 ; pente = 2/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1 ; masqués : 5
n = 7 ; pente = 3/2 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 2 ; masqués : 2
n = 7 ; pente = 3 ; masqués : 1

pour n=11, si l'observateur est en (-1,1) il y a 72 maisons vues r=0.59504
pour n=17, si l'observateur est en (-1,1) il y a 173 maisons vues r=0.59861

Cordialement.

Salut,

l'intérêt est de démontrer pourquoi nous sommes (presque) certain qu'il n'y en a pas plus !

Le second intérêt est de trouver quatre solutions pour n faibles, moyennent un "crayon-gomme" informatique. En effet, on fixe un point et on élimine tous les points sur la même droite sauf le premier.

Et je continue à penser que l'informatique est un redoutable instrument de recherche "manuelle" automatisée, bien utile dans bien des situations (et je n'en doute en aucune manière puisque je m'en sers au quotidien), mais n'arrivera jamais à la hauteur d'un raisonnement qui démontre indubitablement un résultat (et je le vis aussi au quotidien, quand il faut prendre une décision qui peut coûter en cas d'erreur !)

Bonjour,

mettez l'observateur en (-1;1) et vous aurez 2 résultats pour n impair plus vite qu'avec les n pairs.

Note : L'observateur est forcément sur des coordonnées rationnelles. J'ai testé les positions de l'observateur avec des pas correspondant à des fractions rationnelles simples, et je n'ai trouvé de solutions que pour des coordonnées entières.
Mais la démonstration que freddy donnera nous en convaincra...  :-)

Cordialement.

re.

pour les n impairs  , ou ils sont trop grands pour se les taper à la main , ou il faut changer les coordonnées de l'observateur , ou j'ai mal compté . j'opterai pour la dernière.

salut.