Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Bis repetita non placent...
Je n'ai posté de nouveau ici que parce que j'ai pensé que je me devais, après la polémique, de donner une "explication de texte" sur mon plan à ceux qui auraient parcouru cet échange : tout le monde n'a pas le temps de fouiller tout le site et d'aller voir un topic spécial créé dans le café mathématique où je l'ai déjà publié il y a une 10aine de  jours.
Il y a longtemps que je n'ai pas procédé à des fermetures (ça fait partie de  "l'entretien courant") et je sens que ce topic en fera partie...

Je vais arrêter de faire de la littérature pour me monter aussi précis et clair que que possible.

* 6x+5 en une ligne de calcul : oui et alors ? Ai-je jamais dit que cette méthode était fausse ? Non ! Simplement qu'elle était hors-programme.
* c’était enseigné encore : ça l'est toujours...
*pour les plus jeunes que yoshi de 15 ans...
   Donc, c'était enseigné en 1ere dans les années 80 ? Et alors ?
Je vais chercher, mais sauf miracle (ou possession d'un manuel, ce qui n'est pas le cas), je ne trouverai pas.
Si je dois comptabiliser tout ce qui a disparu, réapparu, redisparu des programmes, je ne suis pas sorti de l'auberge.

Donc questions simples :
* Sommes-nous bien en 2011, ce jeune-homme) en 1ere S et étudiant selon le programme en vigueur en 2011 ? Oui/Non.
* La notion de division des polynômes est-elle hors programme en 2011 en 1ere S ? Oui/Non
* Doit-on évoquer dans un devoir de 4e, la notion de Barycentre sous prétexte qu'elle a été de ce programme, il y a une vingtaine d'années ?
* Doit-on user des conjugués harmoniques en 2nde en 2011, parce que cela figurait dans le programme du 18 juillet 1960 pour les sections A', C, M et M' ? Oui/Non
A questions simples, réponses simples par Oui ou par Non.
Le reste ne serait que littérature...

Tiens ça me rappelle mes mômes :
Vous avez pas le droit... j'ai le droit de...
à quoi je répondais invariablement :
et si tu me parlais de tes devoirs ?
Jusqu'au jour où l'un d'entre eux me regarda intrigué et me répondit : mes devoirs ? quels devoirs ? Mais je les ai fait mes devoirs...
Il existerait donc un droit d'intervention, comme le devoir d'ingérence pour les nations...
Bien, pour rire un peu : référence de l'article, date, n°, décret d'application du ?...

Pour toutes récriminations et autres ergotages --> topic du café mathématique.
Merci.

@+

[hors-sujet]
En 1966, j'avais 9 h de maths par semaine, je viens de voir qu'en 1982 et 1987, c'était toujours le cas et 5 h 30 pour 2011-2012 dont 1 h dédoublée...
Ça fait 3 h 30 de moins : on en pond du boulot en 3 h 30...
8 h en TS Spé maths en 1994, 7 h 30 en 2002...
[/hors sujet]

Bonjour,

Après réflexion, bien qu'ayant posté dans le "Café mathématique", j'ai pensé que ma petite "explication de texte" devait aussi avoir sa place ici (tout le monde n'a pas le temps de passer partout).

Shytex ayant expressément demandé qu'on lui explique, je n'allais pas reproduire son cours et j'avais donc en tête le cheminement - original certes, mais pas incongru - que voici.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Donc, nous avons la fonction suivante :
[tex]f(x)=\frac{2x²+8x+1}{x²+x−2}[/tex]

Je comptais faire remarquer qu'avant l'étude des asymptotes, il fallait commencer par chercher le domaine de définition D_f :
[tex]D_f=]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]-2\;;\;1[\;\cup\;]1\;;\;+\infty[[/tex]

Ceci posé, on reprend :
    Réaction - in petto - indignée : << Méilestfou !  Pourquoi un système de 4 équations à 4 inconnues ? Yaplussimple ! >>
Alors, traversons la route pour aller voir ce qu'il y a de l'autre côté : 4 équations et 4 inconnues, oui, sur le papier ! En fait 2 seulement...
Je voulais l'obliger à commencer en utilisant le "procédé" d'Identification : on convient tous aisément que cela constitue la "tarte à la crème" des programmes de S (et ES d'ailleurs).

Donc on commence :

[tex]f(x)=\frac{2x²+8x+1}{x²+x−2}=ax+b+\frac{cx+d}{x²+x−2}=\frac{ax^3+....}{x²+x−2}[/tex]

Dès alors, shytex devait se dire que a = 0 et, se souvenant que j'avais dit que c'était prévisible, se dire que, oui bien sûr, c'était prévisible...
On en revenait donc en fait à :

[tex]f(x)=\frac{2x²+8x+1}{x²+x−2}= b+\frac{cx+d}{x²+x−2}=\frac{bx^2+....}{x²+x−2}[/tex]

Et donc à b = 2...

C'est alors que je comptais faire remarquer que, dans ce cas, on pouvait (devait) se passer du système d'équation qui, s'il constitue une méthode générique, n'est pas toujours forcément adaptée (en terme d'économie de travail) à la situation et ici en particulier puisque 2 n'est autre que le quotient des termes de plus haut degré...
Et alors ?  aurait-il ajouté.
Et bien, le cours dit

On avait :
[tex]f(x)=\frac{2x²+8x+1}{x²+x−2}=2+\frac{cx+d}{x²+x−2}[/tex].

La fraction tendant vers 0, f(x) tend vers 2 et la droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à C_f en +-oo...
Si shytex avait été un tant soit peu discutailleur (sinon, je l'aurais un peu poussé) il m'aurait dit : la fraction tend vers 0 ? Comment vous le savez ?
Là j'aurais expliqué, qu'en pareil cas, il faut mettre en facteur au numérateur et au dénominateur le terme de plus haut degré, et simplifier...

Et j'aurais encore ajouté qu'ici, la méthode par laquelle j'avais suggéré de commencer était inadaptée au contexte, mais que par contre dans beaucoup d'exercices il serait conduit par l'énoncé à l'utiliser, voir par exemple :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 461#p25461
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 440#p17440
....................................
Et il y a bien d'autres exemples...
Donc méthode à connaître, c'est pour ça que j'ai commencé par là...

En fait, ici, la bonne méthode, simple et courte (et on va être loin de la division des polynômes ^_^) était
1. d'examiner la fonction f, sans précipitation
2. de constater que numérateur et dénominateur étaient des trinômes du 2nd degré,
3. donc de mettre x² en facteur en haut et en bas et de simplifier par x²  puisque [tex]x\: \mapsto\; \pm\infty[/tex]  (\(x^2 \neq 0\)) et trouver :
[tex]f(x)=\frac{2x²+8x+1}{x²+x−2}=\frac{2+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac 1 x −\frac{2}{x^2}}[/tex].

Le numérateur tend vers 2,
le dénominateur tend vers vers 1.
f(x) tend donc vers 2/1 soit 2.
Puisque si [tex]x\: \mapsto\; \pm\infty\,\quad f(x)\; \mapsto\; 2[/tex], alors on peut affirmer que la droite d'équation y=2 est asymptote horizontale à la courbe C_f...

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Juste pour l'anecdote, voyons ce qu'aurait raconté cet ahuri de "Dédé la bricole" (j'ai mis des guillemets, s'pas.)
Et bien, il y a quand même du sérieux sous le titre clin d'oeil.
Je reprends le cours :

Ici, "Dédé la Bricole", voit immédiatement le degré 2 en haut et en bas et il se dit que
* le a de ax+b vaut 0
* il y a 2x² en haut et 1x² en bas, donc que le b vaut 2 et s'il veut absolument arriver à :
[tex]f(x)=b+\frac{cx+d}{x^2+x-2}[/tex]

il commence par écrire que [tex]2x^2+8x+1=2(x^2+x-2)[/tex] et il se dit que pour avoir 8x il lui manque 6x, et que pour passer de
-4 à +1, il lui faut ajouter 5 :
[tex]f(x)=2+\frac{6x+5}{x^2+x-2}[/tex]

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Quant aux asymptotes verticales, alors, pourquoi s'occuper des valeurs interdites ?
Là j'aurais répondu avec le cours :

Or, justement, lorsque x tend vers une valeur interdite, il se trouve que la fonction tend vers +- oo.
En effet si si x--> -2, le numérateur tend vers -7 et le dénominateur vers O^- ou  0⁺ selon que x tend vers 2 par valeurs supérieures ou inférieures à -2 et donc  f(x) tend vers +-oo selon que x tend vers -2 par valeurs supérieures ou inférieures à -2.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

C'était mon plan de travail. Après selon les réactions, j'aurais plus ou moins modifié certaines explications...

@+

Oui, oui, sûr, collège et lycée, mais les principes des divisions ... faut pas abuser et pousser pépé dans les orties rosées.

Pour les maths, je vais te proposer une solution mathématique du problème "voisins, voisines",  avec une approche formelle indiscutable et des raisonnements accessibles à tous ceux qui savent lire (et pas coder dans un langage très hermétique quand on n'explique pas ce qu'on met en oeuvre).

Quant au club, il est ouvert à toutes celles et ceux qui prennent avec gravité les choses légères et avec légèreté les choses sérieuses, ainsi que celles et ceux qui savent distinguer une montagne d'une taupinière.

Ravi de t'avoir rencontré sur ce forum.

Salut,

de mon temps, on l'apprenait en 7ième, puis on le rangeait dans le placard à farces et attrapes jusqu'en math élém, et on le ressortait du chapeau de l'artiste en sup/spé. dans des anneaux compliqués de toutes les couleurs.

Mais c'était un temps que les moins de 100 ans ne peuvent pas connaître.

Without kings regards !

Plus vraiment, non, sauf sur des exemples....

Tu as raison, mais moi je trouve que ces deux méthodes ont un inconvénient : elles ne permettent que de traiter le cas des fractions rationnelles. Je préfère employer une méthode plus générale telle qu'elle est décrite ici.

Mais c'est vrai que c'est peut-être plus adapté pour les classes post-bac, notamment quand on dispose des développements limités.

Cela reste effectivement une question usuelle.

Fred.

Bonsoir,

Bienvenue sur BibM@th...
Bon alors, si tu ne prêtes pas attention à la priorité des opérations, on va avoir du mal...
Ce ne serait pas plutôt ça ta fonction :
f(x)= (2x²+8x+1)/(x²+x-2)
c'est à dire :
[tex]f(x)=\frac{2x²+8x+1}{x²+x−2}[/tex]  ?

Parce que toi, ce que tu proposes (sans les parenthèses), c'est ça :
[tex]f(x)=2x²+8x+\frac{1}{x^2}+x−2[/tex]

Alors là, aucune crainte à avoir : ce n'est pas du tout le genre de la maison. Tu es tombé pile où il le fallait...

Asymptotes – Voilà 2 méthodes pour faire apparaître une asymptote oblique ou horizontale (dans ce dernier cas, il y a plus simple)
1. Type M. Bricolage (moi, j'adore mais pas ou plus usitée)
    Faire apparaître au numérateur un multiple du dénominateur : ce "coeff multiplicateur" pouvant pouvant être un simple nombre, ou un binôme du premier degré avec un correctif (souvent un binôme). Décomposer ensuite la fraction sous la forme donnée ci-dessous.
2. * Ecrire que [tex] f(x)=ax+b+\frac{cx+d}{x^2+x−2}[/tex]

    * Tout remettre sur le même dénominateur, écrire que : numérateur obtenu = 2x²+8x-2, et identifier  (c'est le terme consacré) les coefficients - écrire que chaque  coeff du numérateur obtenu = le coeff correspondant  de 2x²+8x+1 -
    * Tu obtiens un système que tu résous...
L'équation  y = ax+b sera l'une des asymptotes oblique ou horizontale. Et vas constater ici que tu pouvais simplifier tes calculs parce que la valeur de a était prévisible...
Cette méthode-là resservira beaucoup

Quant au Df, c'est du cours de 2nde : il faut "éliminer" les valeurs interdites...
Ici, il y a une fraction et 2 trinômes du 2nd degré "simples" : les seules valeurs interdites à chercher sont celles qui annulent le dénominateur.

Et ces valeurs interdites vont te donner chacune l'équation d'une asymptote verticale.

On reprécisera tout ça après ta réponse...

@+