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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Choukos
- 20-04-2011 21:15:13
Merci beaucoup c'est limpide !
- Fred
- 20-04-2011 20:45:24
Salut,
Voici un exercice intéressant et qui sort de l'ordinaire!
Je vais t'expliquer comment j'ai fait pour trouver une solution.
Je me suis dit, je vais trouver l'exemple le plus facile possible où
[tex]Im f\circ c[/tex] et [tex]\ker f\circ f[/tex] sont supplémentaires.
Et le plus facile, c'est quand [tex]\ker f\circ f[/tex] est égal à tout l'espace.
J'ai donc considéré une application telle que [tex]f\circ f=0[/tex]
mais [tex]f\neq 0[/tex]. L'exemple le plus simple est dans [tex]\mathbb R^2[/tex] :
tu construis f par [tex]f(1,0)=(0,0)[/tex] et [tex]f(0,1)=(1,0)[/tex]
On a bien [tex]f\circ f=0[/tex], alors que [tex]\ker f=Im f=\textrm{vect}((1,0))[/tex]
et donc [tex]\ker f[/tex] et [tex]\textrm{Im}(f)[/tex] ne sont pas supplémentaires!
Fred.
- Choukos
- 20-04-2011 19:34:26
Bonsoir !
J'ai une question sur laquelle je bute et j'aimerais si possible avoir un peu d'aide :
" Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E.
Donner un exemple où [tex]Im f \circ f[/tex] et [tex]\ker f \circ f[/tex] sont supplémentaires sans que [tex]Im f[/tex] et [tex]\ker f[/tex] le soient. "
Tout ce que je crois avoir réussi à faire c'est de ré-écrire l'énoncé... il faut trouver une application linéaire dont l'intersection entre le noyau et l'image soit non nulle mais lorsque l'on applique deux fois cette application, l'intersection devient nulle. (Le théorème du rang nous assure qu'on ait les bonnes dimensions). Désolé si cela vous semble évident... mais je bloque sincèrement dessus.
Merci d'avance pour votre aide !