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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- JJ
- 25-11-2010 09:40:13
Michael, tu reprends au message #18 (19-11-2010 08:47:23)
Tout y est. Un petit effort et tu appliques la démarche indiquée.
- Michael_flux
- 24-11-2010 14:26:23
Stp reprend JJ j 'ai pas très bien suivi. Tu pourrais la reprendre avec plus de détail stp ?
- JJ
- 20-11-2010 19:09:41
@ yoshi
Bien évidemment, ma remarque s'adressait à Michael, pour attirer son attention sur le fait qu'il ne suffisait pas de recopier le peu que j'avais écrit, mais qu'il devait apporter les justifications nécessaires (et particulièrement en ce qui concerne la limite x tendant vers 1).
Bien cordialement,
JJ.
- yoshi
- 20-11-2010 10:03:29
Salut,
Merci...
J'avais complètement zappé le petit "tour de passe-passe" auquel tu t'es livré...
Moi, j'étais arrivé à : [tex]\sum_{i=0}^n\big(x^2)^i=\frac{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}[/tex]
Et là, j'avais aussi zappé le fait que 0<=x²<1, et donc que :
[tex]\lim_{n \to +\infty}\frac{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}=\frac{1}{1-x^2}[/tex]
ok !
Voilà qui me rafraîchit la mémoire...
Au fait :
L'aide apportée ici se limite à donner une indication sommaire de la méthode. Selon les règles de bon usage de ce forum, on ne donne pas la réponse complète et détaillée qu'il suffirait de seulement recopier !
Je pense que ceci n'est pas à mon intention, moi qui ai été la cheville ouvrière de l'élaboration/rédaction des règles de ce fonctionnement de ce forum... ;-)
@+
- JJ
- 20-11-2010 08:12:51
(1-x²)(1+x²+(x^4)+(x^6)+...) =
= (1+x²+(x^4)+(x^6)+...) - (x²+(x^4)+(x^6)+...)
= 1
donc
(1+x²+(x^4)+(x^6)+...) = 1/(1-x²)
(c'est une classique série géométrique)
Bien évidemment sous condition de convergence 0<=x²<1
Remarque :
L'intégrale en question ayant une borne =1, pour être rigoureux, il faut faire l'étude à la limite x->1
L'aide apportée içi se limite à donner une indication sommaire de la méthode. Selon les règles de bon usage de ce forum, on ne donne pas la réponse complète et détaillée qu'il suffirait de seulement recopier !
- yoshi
- 19-11-2010 12:46:44
Re,
Euh... JJ, désolé, j'ai beaucoup de mal à voir comment on peut démontrer cette égalité :
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}[/tex]...
Ne serait pas plutôt : [tex]\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x^{2n}}=\frac{1}{1-x^2}[/tex] ?
Si non, peux-tu développer s'il te plaît ?
@+
- JJ
- 19-11-2010 08:47:23
On peut aussi arriver au résultat sans passer par une fonction spéciale.
Mais il est bien évident que l'on doit alors passer par un développement en série infinie, puisque l'intégrale indéfinie ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
Par exemple, on peut utiliser :
1/(1-x²) = sigma x^(2n) avec n=0 à infini
L'intégrale de x^(2n+2).ln(x) prise entre 0 et 1 se calcule aisément.
On arrive ainsi à sigma 1/(2n+3)² avec n=0 à infini qui vaut (pi²/8)-1
- Michael_flux
- 19-11-2010 02:50:09
C'est vrai, javais oublié le 1 ! Merci encore, on trouve alors le pi²/ 8 - 1
- JJ
- 06-11-2010 08:50:32
Salut,
tu écris : "pour le premier bloc : O", ce qui est faux.
- Michael_flux
- 05-11-2010 23:35:45
Bonsoir à tous . Fred, jai repris l'exercice et voici ce que je trouve comme resultat.
Tout d'abord, x²lnx/x²-1 = lnx + lnx/2(x-1) - lnx/2(x+1)
donc en prenant les integrales de chaque fonction , on obtient comme primitives respectives :
[xlnx-x] +1/2[-dilog (1-x)] -1/2[dilog (-x) +ln(x+1)lnx]
En prenant les bornes ( c'est-à-dire ) de 0 à 1, on obtient:
pour le premier bloc : O ; pour le deuxième bloc : pi²/12 ; pour le 3e : pi²/24
Et finalement on obtient Pi²/8.
Qu'en penses-tu?
- Michael_flux
- 02-11-2010 19:49:46
Ah okay JJ, voilà que c'est bien clair maintenant. Merci
- JJ
- 02-11-2010 19:19:27
ce n'est pas la démo qui est "sans fonction spéciale". Au contraire, il a bien été dit qu'elle utilise la fonction dilog.
C'est le résultat qui est "sans fonction spéciale", c'est à dire dans lequel aucune fonction spéciale n'apparait.
- Michael_flux
- 02-11-2010 19:13:25
Oui JJ, peux-tu nous en dire plus sur ta démo sans fonction spéciale s'il te plait ?
Merci d'avance.
- yoshi
- 02-11-2010 18:37:09
RE,
Par contre, telle que la question était formulée par Michael, avec les bornes d'intégration 0 et 1, la réponse est une expression simple, ne comportant pas de fonction spéciale : (pi²/8)-1.
Arf, j'ai zappé ça ?...
Alors, je suis preneur de ta démo : comment arrives-tu à ce résultat sans passer par Li2 ?
@+
- JJ
- 02-11-2010 16:50:56
Ha! d'accord !
Bien sûr, si l'on considère la question de l'intégrale indéfinie, il est certain qu'il faut faire appel à une fonction spéciale et la fonction dilog convient bien.
Par contre, telle que la question était formulée par Michael, avec les bornes d'intégration 0 et 1, la réponse est une expression simple, ne comportant pas de fonction spéciale : (pi²/8)-1.