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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 18-09-2010 20:30:23
Salut,
IR est complet parce qu'il est construit pour être complet.
Comme le signale Tibo (tiens, ca faisait longtemps!), IR est construit comme l'ensemble des limites des suites de Cauchy de Q. C'est le complété de Q. Il est complet par construction.
Lorsqu'on ne construit pas IR, on démontre qu'il est complet en utilisant par exemple le théorème de Bolzano-Weierstrass. Celui-ci dépend intimement de la propriété de la borne supérieure de IR.
Fred.
- webern
- 18-09-2010 13:54:12
Bonjour,
est-ce que la complétude de IR ne dépend pas de la distance envisagée? Pour la distance usuelle, on montre facilement que IR est complet, mais il me semble que ce n'est pas le cas pour d'autres distances (par exemple, celle de l'exercice 2 sur les espaces complets, dans la partie analyse/ topologie de ce site).
- tibo
- 18-09-2010 09:02:05
bonjour,
lR est de dimension fini (=1)
or tout espace vectoriel de dimension fini est complet.
quant à cette derniere propriété, je n'ai pas la démonstration en tete mais il me semble que ça se demontre rapidement en utilisant les définitions d'une suite de Cauchy et d'une suite convergentes.
A ma connaissance, le seul axiome, ou définition dans ce cas, de lR est sa construction comme l'ensemble des limites des suites de Cauchy rationnelles. Toutes les propriété de lR doivent pouvoir se démontrer a partir de ça.
- jed
- 18-09-2010 00:18:36
salut
IR est complet ; c'est un axiome ? ou il y'a une démonstration pour cette résultat.
merci, pour vos aides .