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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Hoch54
- 20-01-2010 21:04:19
Merci beaucoup pour ton aide, j'ai enfin compris:
[tex]{S}_{n}=\sum^{n}_{k=0}[/tex] [tex]{\left(-1\right)}^{k}{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex]= [tex]\left({\,}^{\,n}_{\frac{n}{2}}\right){\left(-1\right)}^{n/2}[/tex] si n est pair, 0 sinon.
et
[tex]{T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex] = [tex]n\left({\,}^{2n-1}_{\,\,\,n}\right)[/tex]
J'ai eu du mal mais j'ai enfin terminé. Merci encore.
- Fred
- 20-01-2010 20:26:00
Re-
Ben si c'est ca...
Sauf que ca ne marche que si n est pair, sinon il n'y a pas de coefficients devant x^n...
et donc la somme fait 0.
F.
- Hoch54
- 20-01-2010 18:39:42
Hoch54 a écrit :Si j'applique le binome de Newton à [tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex], j'obtiens comme coefficient devant [tex]{x}^{k}[/tex] :
[tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}[/tex] , je dois encore la réduire?
Euh, non, si tu appliques la formule du binôme, le coefficient devant x^k n'est pas une somme....c'est un coefficient binomial.
Il vaut 0 si k est impair et .... si k=2p.]Pour la seconde somme, je ne vois pas comment arriver, j'avais eu l'idée de partir avec une dérivée pour faire apparaitre le k mais après je n'ai toujours pas compris.
Tu as :
[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n nk\binom{n}k x^{k-1}[/tex]
Si tu cherches le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] du produit QP, tu trouves
[tex]\sum_{k=1}^n nk\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=nT_n^2[/tex]
Maintenant,
[tex]QP=n(x+1)^{2n-1}[/tex] et on peut retrouver le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] à l'aide de la formule du binôme
(et ce n'est pas une somme!)Fred.
Je suis désolé mais je n'arrive toujours pas à comprendre.
J'applique le binôme de Newton à [tex](x^2-1)^n[/tex], j'obtiens bien: [tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}{x}^{2k}[/tex]
Le coefficient pour [tex]{x}^{n}[/tex] est donc atteint pour k=n/2 cela donne:
[tex]\left({\,}^{\,n}_{\frac{n}{2}}\right){\left(-1\right)}^{n/2}[/tex]
mais j'imagine que ce n'est pas que je dois faire :s
- Fred
- 20-01-2010 10:44:09
Si j'applique le binome de Newton à [tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex], j'obtiens comme coefficient devant [tex]{x}^{k}[/tex] :
[tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}[/tex] , je dois encore la réduire?
Euh, non, si tu appliques la formule du binôme, le coefficient devant x^k n'est pas une somme....c'est un coefficient binomial.
Il vaut 0 si k est impair et .... si k=2p.
]Pour la seconde somme, je ne vois pas comment arriver, j'avais eu l'idée de partir avec une dérivée pour faire apparaitre le k mais après je n'ai toujours pas compris.
Tu as :
[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n nk\binom{n}k x^{k-1}[/tex]
Si tu cherches le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] du produit QP, tu trouves
[tex]\sum_{k=1}^n nk\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=nT_n^2[/tex]
Maintenant,
[tex]QP=n(x+1)^{2n-1}[/tex] et on peut retrouver le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] à l'aide de la formule du binôme
(et ce n'est pas une somme!)
Fred.
- Hoch54
- 19-01-2010 22:59:26
Bonjour,
On t'a assez bien guidé!
Pour calculer [tex]S_n[/tex], tu peux prendre comme polynômes[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=(x-1)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}[/tex]Tu cherches alors le coefficient devant [tex]x^n[/tex] dans le produit PQ.
D'une part, avec la forme détaillée, il vaut :
[tex]\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}^2.[/tex]
D'autre part, on peut le retrouver à partir de la formule du binome et de
[tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex]Tu peux considérer [tex]P(x)=(x+1)^n[/tex] et [tex]Q(x)=P'(x)=n(x+1)^{n-1}[/tex]
Regarde ensuite le coefficient devant [tex]x^n[/tex] du produit PQ.Fred.
Si j'applique le binome de Newton à [tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex], j'obtiens comme coefficient devant [tex]{x}^{k}[/tex] :
[tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}[/tex] , je dois encore la réduire?
Pour la seconde somme, je ne vois pas comment arriver, j'avais eu l'idée de partir avec une dérivée pour faire apparaitre le k mais après je n'ai toujours pas compris.
- Fred
- 18-01-2010 21:45:50
Bonjour,
On t'a assez bien guidé!
Pour calculer [tex]S_n[/tex], tu peux prendre comme polynômes
[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=(x-1)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}[/tex]
Tu cherches alors le coefficient devant [tex]x^n[/tex] dans le produit PQ.
D'une part, avec la forme détaillée, il vaut :
[tex]\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}^2.[/tex]
D'autre part, on peut le retrouver à partir de la formule du binome et de
[tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex]
Tu peux considérer [tex]P(x)=(x+1)^n[/tex] et [tex]Q(x)=P'(x)=n(x+1)^{n-1}[/tex]
Regarde ensuite le coefficient devant [tex]x^n[/tex] du produit PQ.
Fred.
- Hoch54
- 18-01-2010 19:24:39
Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour un exercice sur les ensembles et dénombrements:
calculer [tex]{S}_{n}=\sum^{n}_{k=0}[/tex] [tex]{\left(-1\right)}^{k}{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex]
et [tex]{T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex]
On m'a donné quelques indications, par exemple, résonner sur un produit de 2 polynômes de degré n et m écrits avec une somme.
(PQ)(x)= [tex]\sum^{n+m}_{k=0}\left(\sum^{k}_{ i=0}{a}_{i}{b}_{k-i}\right){x}^{k}[/tex]
Par exemple pour la première somme, prendre le coefficient de [tex]{x}^{n}[/tex] dans le produit PQ où [tex]{\left(-1\right)}^{k}[/tex] [tex]\left({\,}^{n}_{k}\right)[/tex] coefficient de [tex] {x}^{k}[/tex] dans P et [tex]\left({\,}^{n}_{n-k}\right)[/tex] coefficient de [tex]{x}^{n-1}[/tex] de Q.
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.