Répondre

juheba · 16-11-2009 01:29:11

Bonjour Fred,

C'est exactement la même définition que j'avais.
Après y avoir pensé, j'ai finalement compris.

J'apprécie beaucoup ton aide, faire des preuves est récemment nouveau pour moi.

Merci beaucoup!

Julien.

Fred · 15-11-2009 22:25:10

Je ne sais pas quelle est la définition de matrice définie positive tu as alors.
Mais pour moi, une matrice B est définie positive ssi pour tout d,

[tex]d^T B d>0[/tex]
c'est ce que tu as prouvé.

Fred.

juheba · 15-11-2009 00:12:30

Je crois avoir compris une partie, mais pas en entier.
Voici ce que j'en ai déduit:

Par définition, si A est symmétrique définie positive alors,

[tex]{d}^{T}A\,d\,>\,0[/tex] , pour tout vecteur [tex]d\noteq 0\,\in {\mathbb{R}}^{n}[/tex]

En prenant le chemin proposé par Fred:

Je peux poser d=Ax et j'obtiens ainsi:

[tex]{d}^{T}{A}^{-1}d\,=\,{\left(Ax\right)}^{T}{A}^{-1}x\,=\,{x}^{T}A\,x\,>\,0[/tex]

Cela dit, je ne vois pas en quoi cela prouve que l'inverse de A est définie positive. Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer?

juheba · 14-11-2009 23:44:35

Petit point, je ne suis pas familier avec cette notation. Plus spécifiquement, peux-tu expliquer ce que signifie les genre de parenthèses, et l'ordre des termes.

Merci encore!

Julien.

Fred · 14-11-2009 23:31:15

Bonjour,

Tu veux prouver que, pour tout y,
[tex]\langle A^{-1}y,y\rangle >0[/tex]
Tu poses y=Ax, et tu obtiens
[tex]\langle A^{-1}Ax,Ax\rangle = \langle x,Ax\rangle>0[/tex]
car A est définie positive.

Ca peut aussi se retrouver en étudiant les valeurs propres de A et de son inverse....

Fred.

juheba · 14-11-2009 23:27:52

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait me guider vers une piste me permettant de prouver que l'inverse d'une matrice A symmétrique et définie positive est elle aussi définie positive.

Merci beaucoup,

Julien.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Répondre

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Pied de page des forums