Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (collège-lycée)
- » Démonstration avec PGCD
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 27-08-2026 22:57:33
Bonsoir,
On peut s'amuser avec la réciproque du théorème de Gauß aussi...
Un peu tordu mais bon, pourquoi pas...
Sinon si on préfère une relation de Bézout...
- jelobreuil
- 24-08-2026 19:51:37
Bonsoir anthony_unac
Je regrette, mais ta dernière question dépasse mes compétences, je suis aussi perdu que toi en logique !
J'espère que DeGeer saura te répondre...
Bien amicalement, JLB
- anthony_unac
- 24-08-2026 13:42:56
Merci pour ces compléments d'infos mais tout n'est pas encore clair.
En effet, il est possible de résoudre l'exercice en raisonnant par contraposition mais il semblerait qu'il n'y ait pas d'équivalence en logique intuitionniste entre [tex]A=>B[/tex] et [tex]non B=>non A[/tex] du coup je pense que la résolution est incomplète. Il faut une réciproque.
Tout ceci me perd au final, c'est compliqué la logique.
- DeGeer
- 24-08-2026 13:35:47
Bonjour Jelobreuil
Oui, c'est le sens de mon premier message.
- jelobreuil
- 24-08-2026 13:29:43
Bonjour DeGeer,
Tout à fait d'accord !
Et je viens de comprendre que, quand tu écris "notons $d$ un diviseur commun à $m$ et $n$", en fait, tu ne fais pas d'hypothèse sur le fait que $m$ et $n$ ne soient pas premiers entre eux, mais simplement, tu poses qu'il existe un diviseur commun, et tu regardes quel peut être ce diviseur, et en particulier, s'il peut être différent de 1.
Est-ce que j'interprète correctement ton premier message et l'explication que tu en a donnée ?
Bien amicalement, JLB
- DeGeer
- 24-08-2026 12:45:49
On peut effectivement raisonner par contraposée :
Si $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux, ils admettent un diviseur commun $d$ strictement plus grand que $1$. On a alors $m=d \times m'$ et $n=d \times n'$ soit $m+n=d \times m' + d \times n' = d (m'+n')$ donc $m+n$ n'est pas premier.
On peut aussi raisonner directement comme dans mon premier message : si $m+n$ est premier, on note $d$ un diviseur commun (positif) à $m$ et $n$. Alors $d$ est un diviseur de $m+n$, qui est premier, mais $d < m+n$ donc nécessairement $d=1$. Donc $m$ et $n$ sont premiers entre eux.
- jelobreuil
- 24-08-2026 10:32:20
Rebonjour anthony_unac
Oui, en effet, tu as bien compris ce que j'ai voulu dire.
C'est le principe de ce qu'on appelle, je crois, un raisonnement par l'absurde : si c'était l'inverse de la conclusion attendue qui était vraie, l'hypothèse de départ serait fausse.
Et comme je te l'ai déjà écrit, il me semble que dans le cas présent, ça fonctionne bien !
Relis le message de DeGeer : c'est exactement ça !
Bien amicalement, JLB
- anthony_unac
- 24-08-2026 08:32:29
Bonjour jelobreuil,
Le raisonnement à effectuer serait donc :
Pour prouver que [tex](m+n)[/tex] premier implique [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] premiers entre eux, montrons que :
[tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] non premiers entre eux implique [tex](m+n)[/tex] non premier.
Désolé d'insister mais pour moi, le raisonnement utilisé est fondamentale (c'est la base, le reste en découle).
- jelobreuil
- 24-08-2026 08:15:29
Bonjour,
Je ne sais pas si cela peut aider, mais : si $(m + n)$ est un nombre premier, c'est nécessairement un nombre impair (si l'on excepte le cas particulier où cela vaudrait $2$), donc, l'un des nombres $m$ et $n$ est pair et l'autre impair, donc on a $(m + n) = 2p + (2q + 1)$.
Mais à bien y réfléchir, je crois bien qu'un raisonnement par l'absurde donne immédiatement la réponse :
si $m$ et $n$ n'étaient pas premiers entre eux... qu'est-ce que cela voudrait dire ?
Bien amicalement, JLB
PS cela revient bien à ce qu'a écrit DeGeer... et son raisonnement n'est pas circulaire !
- anthony_unac
- 24-08-2026 08:11:14
Bonjour DeGeer,
Vous faîtes référence à la propriété :
Si [tex]d[/tex] divise [tex]m[/tex] et [tex]d[/tex] divise [tex]n[/tex] alors [tex]d[/tex]divise une combinaison linéaire de [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex]
Notamment [tex]d|(m+n)[/tex]
Ok mais vous partez d’où pour aboutir ou vis à vis de l'énoncé ? je ne comprends pas.
Selon l'énoncé on souhaite aboutir à [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] n'ont que deux diviseurs communs : [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex]
Mais j'ai l'impression que vous partez de cette propriété pour démontrer la propriété (raisonnement circulaire).
- DeGeer
- 24-08-2026 07:46:07
Bonjour
Tout d'abord il faut que $m$ et $n$ soient tous deux non nuls pour que la propriété voulue soit vraie. Ainsi $m$ et $n$ sont strictement inférieure à leur somme, que l'on note $p$.
Soit $d$ un diviseur commun à $m$ et $n$. $d$ est donc un diviseur de $m+n=p$ qui est premier.
- anthony_unac
- 24-08-2026 07:13:23
Bonjour,
Je bute sur cet exercice :
[tex](m+n)[/tex] est un nombre premier, montrer que [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] sont premiers entre eux.
Je pars de l'information [tex](m+n)[/tex] est un nombre premier
Je cherche à aboutir à [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] sont premier entre eux
Autrement dit [tex]PGCD(m,n)=1[/tex] équivalent à [tex]m(u)+n(v)=1[/tex] avec [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] entiers relatifs d'après le th. de Bézout
Je suis parti sur l'idée qu'un nombre premier admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui même.
Autrement dit, [tex]1|(m+n)[/tex] et [tex](m+n)|(m+n)[/tex] et je bloque ici. Je ne vois pas ce que je peux faire après cela...