Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,
Il semble que notre ami Bernard-maths, à la suite d'un fil récent, se soit pris d'une soudaine passion pour les inversions.
Avec ce nouveau et minuscule problème, j'espère lui faire comprendre que l'inversion et ses avatars sont un outil puissant dans certaines circonstances et ne se résument pas à faire joujou avec GeoGebra.
Sont donnés trois points alignés $A,C,B$ dans cet ordre, les trois demi cercles de diamètres $[AB]$, $[AC]$, $[CB]$ ainsi que la perpendiculaire en $C$ à la droite $(AB)$.
Sont construits les deux cercles en rouge sur la figure avec leurs trois points de contact respectifs :

Montrer que ces deux cercles ont même rayon.
Une première approche consiste à réaliser une figure "exacte" (j’entends par "exacte" ce que permet par exemple GeoGebra avec une approximation d'une quinzaine de décimales).
Il est tout à fait inutile et contre productif de procéder par tâtonnements.
Bien sûr, toute solution, voire calculatoire, est la bienvenue.
P.S. J'espère ne pas voir de messages intempestifs qui n'ont rien à voir avec ce sujet.
[Edit] Modification du titre où j'avais confondu "Sudoku" et "Sangaku" (c'est pas beau de vieillir ...)
Merci à Jelobreuil qui me l'a signalé fort gentiment.