Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci Zebulor, bonjour,
Je suis rassuré :)

Bonjour à tous !

Histoire de polygoner, voici un hexadécagone étoilé :

D'équation : k1 (abs(y cos(α) - x sin(α) - d) + abs(y cos(3α) - x sin(3α) - d) + abs(y cos(5α) - x sin(5α) - d) + abs(y cos(7α) - x sin(7α) - d)) + k2 (abs(y cos(2α) - x sin(2α) - d) + abs(y cos(4α) - x sin(4α) - d) + abs(y cos(6α) - x sin(6α) - d) + abs(y cos(8α) - x sin(8α) - d)) = 4.2

avec d=0, k1=1.18 et k2=-0.78, α=22.5°.

Bernard-maths

Bonjour,
Je vais essayer de préciser les choses avec un petit préalable :

On compose deux symétries centrales $\sigma_1$ et $\sigma_2$ de centres $M_1$ et $M_2$ donnés.
$t=\sigma_2\circ \sigma_1$
$t(m_1)=\sigma_2(m_2)=m_3$
Je pense qu'il est clair (droite des milieux) que $t$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{M_1M_2}=2\overrightarrow{u_1}$
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On revient à notre problème où les $M_i$ ($1\leq i\leq n$) sont donnés avec $n$ impair.
On considère la transformation ponctuelle du plan $s$ composée des $n$ symétries centrales de centres $M_1,M_2\cdots M_n$ :

On part d'un point quelconque $m_1$ transformé successivement en $m_2,m_3,m_4\cdots m_{n-2},m_{n-1},m_n,m_{n+1}$
Avec le préalable, $s$ est la composée de $\dfrac{n-1}{2}$ translations de vecteurs $2\overrightarrow{u_1},2\overrightarrow{u_2}\cdots 2\overrightarrow{u_{\frac{n-1}{2}}}$ et de la symétrie centrale finale de centre $M_n$.
On peut écrire :
$\overrightarrow{m_1m_{n+1}}=2(\underbrace{\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\cdots +\overrightarrow{u_{\frac{n-1}{2}}}}_{\overrightarrow{U}})+2\overrightarrow{M_nm_{n+1}}$
Pour que notre problème ait une solution, il faut et il suffit que $m_1=m_{n+1}=A_1$ point fixe de la transformation $s$.
On en tire immédiatement $\overrightarrow{M_nA_1}=-\overrightarrow{U}$
On peut préciser : $s$ (du groupe homothéties/translations) en tant que composée de translations et d'une homothétie de rapport $-1$, est une isométrie. En général, ce n'est ni l'identité du plan ni une translation : c'est donc l'homothétie de centre $A_1$ et de rapport $-1$ autrement dit la symétrie centrale de centre $A_1$.
Bien sûr, dès qu'on tient $A_1$, on obtient notre unique polygone solution dans le cas impair en lui faisant subir successivement les symétries centrales de centres $M_1,M_2 \cdots M_n$
Dans le cas pair $s$ est une composée de translations donc une translation de vecteur $2\overrightarrow{U}$. Pour qu'il y ait des solutions (il y en a alors une infinité), il faut que ce vecteur  $\overrightarrow{U}$ soit nul. $s$ est alors l'identité du plan.
En espérant avoir été assez clair ...

Bonjour,
Je m'interroge : l'ami Zebulor pose un petit problème dans ce forum "Énigmes, casse têtes, curiosités et autres bizarreries".
On (moi et Rescassol) lui répond.
Aucune réaction, rien, zéro.
Comment est-ce possible ?

Bonjour,
Cas $n$ pair par exemple $n=4$ :
Pour qu'il y ait des solutions (et il y en a dans ce cas une infinité) , il faut que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ autrement dit que le quadrilatère $M_1M_2M_3M_4$ soit un parallélogramme.
C'est une réciproque du théorème de Varignon.
[Edit] Dans le cas pair et avec les bonnes conditions sur les $M_i$, la transformation déjà évoquée est l'identité du plan.
Tout ceci coïncide fort heureusement avec les déterminants (nuls cas pair, non nuls cas impair) des matrices de Rescassol.
[Edit1] Je précise au cas où on ne l'aurait pas compris que mon Edit précédent a été écrit après avoir lu le message de Rescassol ci dessous.

Bonsoir à tous !

Rescassol vient d'écrire à peu près ce que je pense ...

SiMn(xn,yn) sont les milieux, alors soit A(x,y) un point, A1 son symétrique par rapport à M1, A2 le symétrique de A1 par rapport à M2, etc ...

Et soit An symétrique de An-1 par rapport à Mn.

A chaque étape xAi et yAi, de Ai, peuvent s'exprimer en fonction de x et y de A, on aboutit au système d'équations xAn = x et yAn = y.

A résoudre dans chaque cas, c'est la voie que je devrais suivre si j'ai le temps !

En général on devrait trouver une solution unique, sauf disposition spéciale des Mi, à étudier ...

Bonne recherche, Bernard-maths

Bonjour,