Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous et à toutes,

Si $\Phi \colon \mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$ est une application bilinéaire telle que $f(x, y) = \Phi(x, y, \cdot, \cdot) \in (\mathbf{R}^2)^*$ quel que soit $(x, y) \in \mathbf{R}^2$, une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit la dérivée d'une fonction $y \colon  \mathrm{U} \rightarrow \mathbf{R}$ est que $\Phi$ soit symétrique :
- La condition est nécessaire : elle entraîne que $y$ est $2$-fois dérivable dans $U$ et sa dérivée en un point $(x_0, y_0)$ de $U$ est $\Phi$ (identifiée à l'application linéaire $\mathbf{R}^2 \rightarrow (\mathbf{R}^2)^*$), donc $\Phi$ est symétrique (th. de Schwarz).
- La condition est suffisante : l'application $(x, y) \mapsto 1/2 \Phi(x, y, x, y)$ répond à la question.

Donc $\Phi$ n'est pas symétrique, l'équation $y' =   \Phi(x, y, \cdot, \cdot)$ n'admet pas de solution.

Une application $f$ qui est solution d'une équation $y' = f$ est une $1$-forme différentielle exacte. Toute $1$-forme différentielle exacte étant fermée (par construction), il suffit que ton $1$-forme différentielle ne soit pas exacte pour qu'il n'existe aucune solution :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_dif … lle_exacte

E.

Bonsoir,

Dans ton premier post, tu voulais un exemple. Je t'en propose un et tu me demandes maintenant autre chose !

Je n'ai pas mieux que la réponse de DeGeer et je ne connais pas d'hypothèse générale sur $f$ (forcément non continue) pour assurer la non existence.

Roro.

Est-ce qu'il y a un moyen de savoir quand une équation n'admet aucune solution? Je cherche des arguments ou plutôt une justification rigoureuse s'il vous plaît

Bonjour,
soit l'équation différentielle $$y'=f(x,y)$$ où $f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ avec $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$. Un e équation différentielles ordinaire ou bien elle n'admet pas de solution ou bien elle admet une infinité de solutions. Je cherche un exemple d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 1 qui n'admet aucune solution.
Merci d'avance