Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Oui là ok- merci

Désolé je n'ai pas précisé l idée derrière
Pour chaque $(i,j)$, je définis  la fonction :
$$\phi_{ij} : M_n(\mathbb{K}) \to M_{n-1}(\mathbb{K}), \quad A \mapsto M_{ij}(A)$$
qui extrait le mineur $(i,j)$.

1. $\phi_{ij}$ est continue  ( lineaire + dim finie)
2. Par hypothèse de récurrence, la fonction $\det_{n-1} : M_{n-1}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ est continue
3. Donc la composée $\det_{n-1} \circ \phi_{ij}$ est continue sur $M_n(\mathbb{K})$

Le développement par rapport à la ligne $i$ s'écrit :
$$\det_n(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot (\det_{n-1} \circ \phi_{ij})(A)$$

C'est une combinaison linéaire de produits de fonctions continues sur $M_n(\mathbb{K})$, donc $\det_n$ est continue.

Bonjour,
Pourquoi ce doute?
Considérons l'application : $$\det : \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}$$
On peut écrire le déterminant comme : $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})$$ où $A_{ij}$ est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$. Par récurrence sur $n$, on montre que $\det$ est continue.

Bonjour,

Je serai bien curieux de voir une démonstration par récurrence sur la taille de la matrice pour démontrer cette continuité !
@gebrane0 : peux-tu nous en dire plus sur cette idée ???

Roro.

Bonjour à tous et à toutes,

Pour compléter la réponse de Roro, et comme je pense que tu dois être au début de tes études supérieures, j'en profite pour te donner le conseil suivant : ne pas se laisser intimider par une expression et toujours simplifier. Ici, tu as un gros machin
$$
\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (-1)^{\textrm{sign}(\sigma)} \prod_{i  = 1}^n a_{i, \sigma(i)}.
$$
Tu peux voir qu'il s'agit d'une simple somme finie d'expression
$$
(-1)^{\textrm{sign}(\sigma)} \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = \pm a_{1, \sigma(1)} \ldots a_{n, \sigma(n)}
$$
et travailler avec le dernier membre.

E.

Bonjour à tous,
Il me faut déterminer (sans mauvais jeu de mots) si le déterminant d'une matrice quelconque est une application continue.
Plus précisément, l'application:
[tex]f:  \begin{cases}  M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \\ M \longmapsto det(M) \end{cases}[/tex]
est-elle continue?
J'ai essayé de partir de la définition du déterminant
[tex]det(A)=det(a_{i,j})=\sum_{\sigma\in S_{n}} ({-}1)^{Sign(\sigma)} \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma{(i)}}[/tex]
Le problème c'est que
1. c'est pénible à manipuler
2. le déterminant n'est pas linéaire et donc je ne sais pas d'où partir.
Est-ce que vous avez une idée?
Je vous remercie par avance, excellent week-end à vous tous.

P.S. excusez moi la question est plutôt: montrer que le déterminant EST continu