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- gebrane
- 25-10-2025 11:54:21
Bonjour
Voici un autre exemple que les IA testées ne parviennent pas à gérer correctement. et vous ?
Question 2 :
Soit $p>2$ un nombre premier. Montrer le polynôme $x^p + x - 1$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$.
- gebrane
- 23-10-2025 16:29:30
Bonjour, Content de te revoir ici Fred
Question 1 : Étant donnés $n$ nombres rationnels $x_1, x_2, \ldots, x_n$, tels que pour chaque $i$ de $1$ à $n$, la racine carrée $\sqrt{x_i}$ est un nombre irrationnel. Démontrez que $\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i}$, est un nombre irrationnel.
Pour résoudre la question, on démontre, sauf erreur, un résultat plus fort :
Soit $K$ un corps ordonné. Si la somme de $n$ racines carrées $\sqrt{x_1} + \dots + \sqrt{x_n}$ est un élément $k\in K$ (où tous les $x_i$ sont positifs dans $K$), alors chaque $\sqrt{x_i}$ est également un élément de $K$.
La preuve se fait par recurrence sur le nombre $n$ de termes dans la somme.
Soit la propriété:
$P_n: \quad \text{Si } \sqrt{x_1} + \dots + \sqrt{x_n} = k \in K \text{ avec } x_i \in K, x_i > 0, \text{ alors } \sqrt{x_i} \in K \text{ pour tout } i=1, \dots, n.$
On prouve facilement que $P_1$ et $P_2$ sont vraies.
On suppose que la propriété $P_{n-1}$ est vraie et montrons que $P_n$ est vraie.
On considère $n$ termes : $\sqrt{x_1} + \dots + \sqrt{x_n} = k \in K$.
L'idée est de montrer que l'une des racines carrées, par exemple $\sqrt{x_j}$, est dans $K$. Une fois que l'on a prouvé que $\sqrt{x_j} \in K$, alors :
$(\sqrt{x_1} + \dots + \sqrt{x_{j-1}} + \sqrt{x_{j+1}} + \dots + \sqrt{x_n}) = k - \sqrt{x_j} \in K$. C'est une somme de $n-1$ racines carrées qui est dans $K$. Par l'hypothèse de récurrence, toutes les autres racines carrées $(\sqrt{x_1}, \dots, \sqrt{x_{j-1}}, \sqrt{x_{j+1}}, \dots, \sqrt{x_n})$ sont également dans $K$.
Pour prouver que l'une des racines est dans $K$, on réécrit la somme comme :
$\sqrt{x_1} + \dots + \sqrt{x_{n-1}} = k - \sqrt{x_n}$.
Le terme de droite $k - \sqrt{x_n}$ est un élément de l'extension de corps $K(\sqrt{x_n}) = \{ A + B\sqrt{x_n} \mid A, B \in K \}$.
Donc, la somme des $n-1$ premiers termes est dans $K(\sqrt{x_n})$.
Par l'hypothèse de récurrence (appliquée au corps ordonné $K(\sqrt{x_n})$), on déduit que chaque $\sqrt{x_j}$ (pour $j=1, \dots, n-1$) est un élément de $K(\sqrt{x_n})$.
C'est-à-dire, pour tout $j \in \{1, \dots, n-1\}$, on peut écrire :
$\sqrt{x_j} = a_j + b_j\sqrt{x_n}$ pour certains $a_j, b_j \in K$.
Il y a deux cas:
1- Il existe au moins un $b_j < 0$ (pour un certain $j \in \{1, \dots, n-1\}$).
Notons $d_j = -b_j$, $d_j > 0$ et $$a_j = \sqrt{x_j} + \sqrt{d_j^2 x_n}$$
Puisque $a_j \in K$, et que $P_2$ est vraie (pour la somme de deux racines $\sqrt{x_j} + \sqrt{d_j^2 x_n}$ étant dans $K$), on déduit que $\sqrt{x_j} \in K$.
2- Tous les $b_j$ sont positifs ou nuls.
Substituons $\sqrt{x_j} = a_j + b_j\sqrt{x_n}$ pour $j=1, \dots, n-1$ dans la somme :
$\sqrt{x_1} + \dots + \sqrt{x_{n-1}} + \sqrt{x_n} = k$.
On trouve :
$$a + (b+1)\sqrt{x_n} = k$$
avec $a = a_1 + \dots + a_{n-1}\in K $ et $b = b_1 + \dots + b_{n-1}\in K$. On remarque que $b+1 \ne 0$, d'où
$$\sqrt{x_n} = \frac{k-a}{b+1}\in K$$
On a donc trouvé que $\sqrt{x_n} \in K$.
Dans les deux cas, au moins une des racines carrées est dans $K$. CQFD
- Eust_4che
- 23-10-2025 12:49:18
Bonjour,
Content de voir que je ne suis pas le seul à trouver ChatGPT assez inutile pour faire des mathématiques. Un carré est parfait s'il est le carré d'un entier, pas d'un rationnel.
E.
- Ernst
- 23-10-2025 12:36:20
Étant donnés $n$ nombres rationnels $x_1, x_2, \ldots, x_n$, tels que pour chaque $i$ de $1$ à $n$, la racine carrée $\sqrt{x_i}$ est un nombre irrationnel. Démontrez que $\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i}$, est un nombre irrationnel.
Bonjour,
Je n'y connais pas grand chose, mais j'ai utilisé ChatGPT pour résoudre l'énigme et je ne sais pas si c'est juste.
Mon idée, c'est de trouver un contre exemple. Si j'en trouve un, alors c'est gagné. Je me dis que si la formule marche, elle doit marcher pour n'importe quelle somme, donc aussi pour simplement deux termes. Et donc je demande :
Ce à quoi il répond :
**Preuve simple :**
Supposons par l’absurde que $m,n \in \mathbb{N}$ ne soient pas des carrés parfaits (donc $\sqrt{m}$ et $\sqrt{n}$ sont irrationnels) et que
$\sqrt{m} + \sqrt{n} = r \in \mathbb{Q}$.
Alors on a $\sqrt{n} = r - \sqrt{m}$.
En élevant au carré :
$n = r^2 - 2r\sqrt{m} + m$.
D’où $2r\sqrt{m} = r^2 + m - n$,
et donc (puisque $r$ est rationnel et $r \neq 0$ si l’une des racines est non nulle) :
$\sqrt{m} = \dfrac{r^2 + m - n}{2r} \in \mathbb{Q}$.
Mais alors $\sqrt{m}$ est rationnelle, donc $m$ est un carré parfait — ce qui contredit l’hypothèse.
Par symétrie, on obtient aussi que $n$ serait un carré parfait.
Le seul cas dégénéré est $r = 0$, qui impose $\sqrt{m} = \sqrt{n} = 0$, donc $m = n = 0$ (des carrés).
**Conclusion :**
Si $\sqrt{m}$ et $\sqrt{n}$ sont toutes deux irrationnelles (avec la racine principale), leur somme ne peut pas être rationnelle.
Si ChatGPT ne se trompe pas, on peut alors ajouter autant de termes du problème que l'on veut, ça reste comme ça. J'imagine qu'il existe des formulations mathématiques pour bien écrire le truc, mais perso je trouve ça pas si mal.
- Fred
- 23-10-2025 10:21:48
Bonjour,
Je sais le faire si $n=2$ en mettant au carré ou en utilisant la quantité conjuguée comme dans cet exercice.
Ensuite, j'essaie pour $n=3,$ et toujours en mettant au carré (en en envoyant un des éléments de l'autre côté), je m'aperçois que je sais me ramener presqu'au cas $n=2.$ Presqu'au cas $n=2,$ car il y a un "poids" rationnel devant les racines carrées.
Finalement, je me dis que je vais démontrer le résultat par récurrence, mais qu'en fait je vais démontrer un résultat un peu plus fort : pour tous rationnels $a_1,\dots,a_n$ et tous rationnels $x_1,\dots,x_n$ tels que $\sqrt{x_i}$ est toujours irrationnel, alors $a_1\sqrt{x_1}+\cdots+a_n\sqrt{x_n}$ est irrationnel.
Je n'ai aucune idée de savoir si ça va marcher, mais c'est comme cela que j'aborderais le problème.
Bien sûr, comme c'est écrit dans le message de Black Jack, une IA n'est absolument pas conçue pour faire un raisonnement comme celui-ci.
F.
- gebrane
- 22-10-2025 15:06:47
Bonjour, 140
Merci pour vos retours. D'après mon expérience, les IA sont devenues très redoutables (par exemple, ChatGPT-5). Concernant l'exercice proposé, avant de donner ma solution, comment aborderiez-vous cette question avec votre intelligence naturelle ?
- Black Jack
- 22-10-2025 14:42:32
Bonjour,
Question posée à l'IA:
l'IA ne semble pas du tout au point pour traiter beaucoup de problèmes, même élémentaires, en Mathématiques ou en Physique. Pourquoi ?
Sa réponse :
Il est vrai que l'IA, en particulier les modèles de langage actuels, peut sembler défaillante face à de nombreux problèmes complexes de mathématiques ou de physique
. Cette difficulté s'explique par plusieurs limitations fondamentales de la manière dont ces systèmes fonctionnent, notamment leur approche statistique, leur manque de véritable raisonnement logique et leur difficulté à comprendre les concepts physiques de manière intuitive.
La faiblesse de l'approche statistique
Les grands modèles de langage (LLM) comme celui-ci ne "pensent" pas au sens humain. Ils fonctionnent en prédisant le mot suivant dans une séquence en se basant sur d'énormes quantités de données textuelles avec lesquelles ils ont été entraînés.
Absence de compréhension conceptuelle : Pour un LLM, une équation ou un problème de physique n'est qu'une suite de jetons (mots et symboles) qu'il doit compléter de manière statistiquement probable. Il n'a pas de compréhension inhérente des principes sous-jacents, comme la conservation de l'énergie ou les propriétés d'une intégrale.
Risque d'hallucination : S'ils n'ont pas vu d'exemple similaire dans leurs données d'entraînement, ils peuvent générer des réponses qui semblent plausibles mais qui sont en réalité fausses. Ce sont les "hallucinations" de l'IA, particulièrement problématiques en mathématiques où la précision est primordiale.
Problèmes multi-étapes : Les erreurs tendent à se propager et à s'aggraver dans les problèmes qui nécessitent plusieurs étapes de raisonnement. Un LLM peut commettre une erreur subtile au début et aboutir à une conclusion complètement incorrecte, tout en exprimant une grande "confiance".
Le manque de raisonnement logique et symbolique
Contrairement aux systèmes de calcul formel ou aux démonstrateurs de théorèmes, les LLM ne sont pas des systèmes logiques déterministes.
Non-déterminisme : Un même problème peut produire des réponses différentes et parfois incorrectes à chaque tentative, car le modèle peut suivre un chemin de raisonnement différent.
Difficulté avec le raisonnement compositionnel : L'IA a du mal à combiner des principes plus simples pour résoudre des problèmes complexes. Par exemple, elle pourrait être capable de résoudre des problèmes distincts sur la gravité ou le frottement, mais échouer à comprendre leur interaction dans une situation nouvelle.
L'absence de compréhension incarnée de la physique
La physique se base sur des concepts et une intuition du monde physique que les humains développent en interagissant avec leur environnement.
Pas d'expérience physique : Les IA actuelles traitent la physique comme un ensemble de relations mathématiques abstraites plutôt que comme des expériences vécues. Elles ne peuvent pas "ressentir" la gravité ou la friction, ce qui limite leur capacité à modéliser intuitivement des scénarios physiques.
Environnements complexes : Le monde réel est dynamique et chaotique. Les IA ont du mal à généraliser leur connaissance à des environnements non structurés, par rapport aux humains qui s'adaptent rapidement à de nouvelles situations.
Des progrès en cours, mais des limites subsistent
Il est important de noter que la recherche dans ce domaine est en constante évolution.
Chaîne de pensée (CoT) : Des techniques comme le Chain of Thought (chaîne de pensée) aident les modèles à décomposer les problèmes complexes en étapes intermédiaires, améliorant ainsi leurs performances.
Outils externes : En se connectant à des interpréteurs de code ou des calculateurs symboliques, les IA peuvent exécuter des fonctions mathématiques de manière plus fiable, mais la partie raisonnement de haut niveau reste un défi.
Recherche de pointe : De nouvelles architectures et techniques, parfois appelées "IA physique", tentent d'intégrer une meilleure compréhension du monde physique. Cependant, ces travaux sont encore loin d'offrir une solution universelle pour le moment.
Les réponses de l'IA peuvent contenir des erreurs. En savoir plus
Par expérience personnelle (surtout en problèmes élémentaires de Physique), les solutions proposées par l'IA sont très souvent complètement fausses... mais présentées tellement joliment et avec assurance que les non initiés se font berner.
- Roro
- 22-10-2025 13:48:17
Bonjour,
La plupart des questions mathématiques pour lesquels j'ai demandé à l'IA un avis s'est révélé désastreux...
A mon avis, dans l'état actuel des choses, à l'exception des problèmes ultra-classiques pour lesquels il y a suffisamment de données concordantes peut conduire à une réponse satisfaisante de l'IA.
Dans tous les autres cas, elle ne semble pas avoir les moyens de déterminer le vrai du faux, ce qui est assez difficile pour faire des maths.
Roro.
- gebrane
- 22-10-2025 12:02:41
Bonjour, je vous présente quelques questions originales que l'IA ne réussit pas à gérer convenablement.
Question 1 Étant donnés $n$ nombres rationnels $x_1, x_2, \ldots, x_n$, tels que pour chaque $i$ de $1$ à $n$, la racine carrée $\sqrt{x_i}$ est un nombre irrationnel. Démontrez que $\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i}$, est un nombre irrationnel.
Cordialement gebrane