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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bib99
- 31-08-2025 13:50:06
Bonjour,
[tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 = t[/tex], signifie que, [tex]\displaystyle \int_0^t ( dB_s )^2 = \displaystyle \int_0^t ds[/tex], d'où, heuristiquement, [tex](dB_t)^2 = dt[/tex].
Cordialement.
- Maxime Jaccon
- 31-08-2025 09:18:31
Bonjour,
Merci pour votre réponse. Elle m'a beaucoup aidé. Mais comment justifieriez-vous l'heuristique ? De la somme à l'infinitésimal ?
Cordialement.
- bib99
- 31-08-2025 06:00:25
Bonjour,
Pour une partition quelconque de l'intervalle [tex][0,t][/tex], [tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 = t[/tex], d'où, heuristiquement, [tex](dB_t)^2 = dt[/tex].
En effet, [tex]B(t_k ) - B(t_{k-1} ) \sim \mathcal{N} ( 0 , t_k - t_{k-1} )[/tex], Donc, [tex]E( (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 ) = Var (B(t_k ) - B(t_{k-1})) = t_k - t_{k-1} [/tex], d'où, [tex]E( \displaystyle \sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1})^2) = \displaystyle \sum_{k=1}^n (t_k - t_{k-1}) = t = E(t)[/tex]. D'où, [tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 = t[/tex] dans [tex]L^2[/tex]. D'où, heuristiquement, [tex](dB_t)^2 = dt[/tex].
Cordialement.
- Maxime Jaccon
- 29-08-2025 23:51:19
J'étudie le calcul stochastique d'Ito et j'entends sans cesse dire qu'un fait essentiel est que dB_t ^ 2 = dt pour le mouvement brownien. J'ai lu que la démonstration complète peut être un peu complexe, utilisant des limites de sommes et une variation quadratique, mais je me demande s'il existe une méthode intuitive pour comprendre pourquoi il se comporte comme dt.