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bonsoir, ce n'est pas un théorème, mais une définition

ça sert à plein de truc, notament la construction de l'ensemble des réels, ou bien démontrer le théorème de Baire et de Banach-Steinhaus, et pein d'autres choses encore.
c'est impossile de dire ou et quand l'utiliser sinon de à chaque fois que tu en as besoin.

les principales propriétés sont:
(Un) de Cauchy => (Un)bornée
(Un) convergente => (Un) de Cauchy
si (Un) de Cauchy admet une sous-suite extraite, alors (Un) converge

et on définit les espaces complets tel toutes suites de Cauchy converge

Je ne vois pas exactement ce que tu cherches, donc c'est difficiles d'en dire plus

Je n'ai pas de raison précise
peut-être parce les deux lettres se ressemblent et \xi est plus rapide à écrire que \varepsilon
mais à l'écrit j'utilise epsilon [tex]\varepsilon[/tex]

Bonjour,

ce que tu donnes là est la définition d'une suite de Cauchy, et non un théorème:
[tex](U_n)\ de\ Cauchy\ <=>\ \forall \x >0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n>N,\ \forall p>N,\ ||U_n-U_p||<\xi[/tex]

Cela signifie simplement que l'écart entre deux termes (pas forcément consécutifs) de la suite tend vers 0.

bonjour
je veux mieux comprendre la théorème de cauchy " e>0, il existe n° tel que m>n°, n>n° ,|Um-Un|<e "