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Je répète : relis ton message du 22-04-2025 15:15:16 pour la réponse à ma question 1°).
https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 93#p116293
C'était une des rares fois où tu avais écrit quelque chose de correct, et tu avais obtenu $P(X_1=i\mid X_2=j)$ dans le cas $i<j$.

Relis ton message du 22-04-2025 15:15:16 pour la réponse à ma question 1°).

Non, reprends les choses calmement et en t'appliquant
1°) On a déjà vu ce qu'est $P(X_1=i \mid X_2=j)$ quand $i<j$. Peux tu rappeler ce qui a été trouvé ?
2°) Combien y a-t-il d'entiers $i$ tels que $1\leq j < i$ ?
3°) Tant qu'on y est, peux-tu rappeler ce que vaut $P(X_1=j \mid X_2=j)$ ?
4°) Et $P(X_1=i\mid X_2=j)$ quand $i>j$ ?
5°) Finalement, que vaut $\sum_{i=1}^n P(X_1=i\mid X_2=j)$ ?

Tu récapitules très mal. Ce n'est pas ce qui a été trouvé pour $P(X_1=i \mid X_2=j)$ dans le cas $i<j$.
Et tu calcules aussi très mal : quand tu sommes les probabilités pour $i $ de 1 à $n$, tu fais comme s'il y avait $j$ entiers $\geq 1$ et $<j$.
Pourrais-tu faire plus attention, s'il te plait ?

Bonjour Michel. Désolé pour l'absence, je ne pouvais pas répondre ces derniers jours.

Donc, comme tu dis, j'ai déjà calculé p({ X2 = j }) = (2j-1)/n² dans mon post du 22-04.
Il me reste à calculer p( X1 = j ; X2 = j ).
Or, { X1 = j ; X2 = j } = { (j ; j) }, d'où card ({ X1 = j ; X2 = j }) = 1, et p({ X1 = j ; X2 = j }) = 1/n².
Donc p({ X1 = j | X2 = j }) = (1/n²)/((2j-1)/n²) = 1/(2j-1).

Le problème est que, lorsque je somme les probabilités pour i de 1 à n, je ne trouve pas 1 mais plutôt:
(2j / (2j-1)) + (1/(2j-1)) = (2j+1)/(2j-1).

Eric Lapeyres

Ok, je reprends le calcul du cardinal de { X2 = j }:
{ X2 = j } = réunion pour i de 1 à n de { X1 = i ; X2 = j }
                = réunion pour i de 1 à j de { X1 = i ; X2 = j } U { X2 = j ; X1 = i }

d'où card ({ X2 = j }) = somme pour i=1 à i=j (card({ X1 = i ; X2 = j }) + somme pour i=1 à i=j-1 (card({ X2 = j ; X1 = i })
                                 =  j + (j-1) = 2j-1

d'où, toujours pour le cas (Deuxième question - (a) - 2ème cas i<j ),
p({ X2 = j }) = (2j-1)/n²

et p(X1 = i | X2 = j) = p( X1 = i ; X2 = j ) / p({ X2 = j}) = (2/n²) / ((2j-1)/n²) = 2 / (2j-1)

Si cela était juste, il me resterait à traiter le cas (Deuxième question - (a) - 3ème cas i=j ).

Et je pense qu'il faudrait que p( X1 = i | X2 = i) soit égal à (2i-3) / (2i-1).

C'est laborieux !

Je devine, mais je ne raisonne pas.
Je pense qu'il faut écrire:
p(X2 = j) = somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n (p(X1 = i ; X2 = j))
              = somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à j ) ( 2 / n²)
              = somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à (j-1) ( 2 / n²) + (1/n²) = 2 (j-1) / n² + (1/n²).

Mais pour moi, ce + (1/n²) n'est pas possible car il vient de p(X1 = i ; X2 = j) avec j=i. Or, on est dans le cas (i<j), donc on n'a pas j=i.

Pas mieux.

Merci Michel.
Je te remercie pour ton sens de la pédagogie.
Je vois bien qu'il y a quelque chose qui cloche mais je ne vois pas quoi.
En effet, si l'on en croit ce que j'ai écrit, somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n =
somme sur i allant de 1 à n (p(X1 = i  | X2 = j)) =
somme sur i allant de 1 à j-1 (p(X1 = i  | X2 = j) + p(X1 = i | X2 = i) =
somme sur i allant de 1 à j-1 (1/(j-1)) + (1/(2j-1)) =
(j-1)/(j-1) + 1/(2j-1) =
2j/(2j-1) > 1.

Et là, je bloque.
Il y aurait bien quelque chose:
Il faudrait, comme c'était écrit dans mon premier envoi:
https://drive.proton.me/urls/5MPBE96F1G#c9utmh4MNunr.

Dans le 2ème cas (i<j): p(X1 = i | X2 = j) = 2 / (2j-1) (mais comment y arriver ?).
Et dans le 3ème cas (i=j): p(X1 = i | X2 = i) = 1 / (2j-1).
D'où la somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n qui vaudrait là 1.

Je sèche.