Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re !

La dérivée/différentielle de $A$ n'a pas de dimension. Il s'agit d'une application $p \mapsto D(A)(p)$ de $\mathbf{R}^{n_2}$ dans l'espace vectoriel $\textrm{Hom}_{\mathbf{R}}(\mathbf{R}^{n_2}, \textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R}))$ des applications linéaires de $\mathbf{R}^{n_2}$ dans $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$, ie d'un élément de $\mathscr{F}(\mathbf{R}^{n_2}, \textrm{Hom}_{\mathbf{R}}(\mathbf{R}^{n_2}, \textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})))$. Ce dernier ensemble est encore un espace vectoriel, mais il n'est pas de dimension finie (pour $n_1 = n_2 = 1$, tu retrouves l'espace $\mathscr{F}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$ des applications de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$, et la dimension de cet espace  est $>$ que le cardinal de $\mathbf{R}$).

La différentielle $D(A)(p_0)$ de $A$ au point $p_0$ est une application linéaire de $\mathbf{R}^{n_2}$ dans $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$ : c'est un élément de $\textrm{Hom}_{\mathbf{R}}(\mathbf{R}^{n_2}, \textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R}))$. Compte tenu de la linéarité, l'application $D(A)(p_0)$ est connue si on connait sa valeur $D(A)_{p_0}(e_i)$ ($p_0$ est mis en indice pour gagner en lisibilité, mais on peut aussi écrire $D(A)(p_0)(e_i)$) sur chacun des vecteurs $e_i$ de la base canonique.

En terme plus savant, l'application
$$
\begin{cases}
\textrm{Hom}_{\mathbf{R}}(\mathbf{R}^{n_2}, \textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R}))& & \longrightarrow \textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})^{n_2} \\
&f & \longmapsto (f(e_1), f(e_2), \ldots, f(e_{n_2 - 1}), f(e_{n_2}))
\end{cases}
$$

est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Enfin, compte tenu des notations usuelles, pour tout $i = 1, \ldots, n_2$, on a l'égalité
$$
D(A)_{p_0}(e_i) = \frac{\partial A}{\partial p_i} \mid p_0
$$
c'est-à-dire, d'après la définition du membre de droite
$$
\begin{align*}
D(A)_{p_0}(e_i) = &  \lim_{h \to 0} \frac{A(p_0 + h. e_i) - A(p_0) }{h} \\
=&
\lim_{h \to 0} \frac{ A(p_{0, 1}, p_{0, 2}, \ldots, p_{0, i - 1}, p_{0, i} + h, p_{0, i +1}, \ldots, p_{0, n_2})
-
A(p_{0, 1}, p_{0, 2}, \ldots, p_{0, i - 1}, p_{0, i}, p_{0, i +1}, \ldots, p_{0, n_2})
}{h}
\end{align*}
$$
et il s'agit d'une matrice. On parle bien de la même chose.

Je reprend mon application $\phi$ du précédent poste, et je prend ton application $f$ en supposant $x$ fixe. La différentielle de $f$ au point $p_0$ est l'application linéaire composée $\phi \circ D(A)_{p_0}$. Elle est entièrement déterminée si l'on connait les valeurs
$$D(f)_{p_0}(e_i) = \frac{\partial f}{\partial p_i} \mid p_0 = \phi (D(A)_{p_0}(e_i)) = D(A)_{p_0}(e_i)x_0$$
pour $i = 1, \ldots, n_2$. Il s'agit ici de vecteurs de $\mathbf{R}^{n_1}$, puisque  $D(A)_{p_0}(e_i)$ est une matrice de $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$.

Je ne comprend pas ta dernière notations, mais j'imagine qu'il s'agit du $n_2$-uplets $( D(A)_{p_0}(e_i)x_0)_{1 \leq i \leq n_2}$ ? Dans ce cas, tu retrouves ta construction (moyennant l'identification de $D(f)_{p_0}$ au $n_2$-uplets).

Bonjour,

Décidément, les notations des physiciens frôlent bien le ridicule.

Il y a un problème dans la définition des indices : je doute fortement que la dimension de l'espace $\mathbf{R}^{n_x}$ soit fonction de la variable $x$.

Organisons un peu tout ça. On se donne deux entiers $n_1$ et $n_2$, une application $h$ de $\mathbf{R}^{n_1} \times \mathbf{R}^{n_2}$ dans $\mathbf{R}^{n_1}$, et une application $A$ définie dans $\mathbf{R}^{n_2}$ et à valeurs dans l'espace vectoriel $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$ des matrices carrées d'ordre $n_1$, et on note $g$ l'application $(x, p) \mapsto A(p)x - h(x, p)$.

Soit $f$ la fonction
$$
(x, p)  \mapsto A(p)x
$$
définie dans  $\mathbf{R}^{n_1} \times \mathbf{R}^{n_2}$ et à valeurs dans $\mathbf{R}^{n_1}$.

Par définition, la dérivée partielle de $f$ au point $(x_0, p_0)$ par rapport à $p$ est la différentielle au point $p_0$ de l'application partielle $f_2 \colon p \mapsto A(p)x_0$. On peut remarquer que $f_2$ est composée de $A$ est de l'application linéaire

$$
\phi \colon
\begin{cases}
\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R}) \longrightarrow \mathbf{R}^{n_1} \\
M \longmapsto Mx_0
\end{cases}
$$

D'après la règle de la dérivation en chaîne, la différentielle de $f_2$ au point $p_0$ est l'application linéaire
$$
D(f_1) = D(\phi)_{A(p_0)} \circ D(A)_{p_0}
$$
de $\mathbf{R}^{n_2}$ dans $\mathbf{R}^{n_1}$. Puisque $\phi$ est linéaire, on a $D(\phi)_{A(p_0)} = \phi$, ce qui fait que $D(f_1)$ l'application linéaire
$$
p \mapsto [ D(A)_{p_0}(p)]x_0,
$$
et
$$ p \mapsto D(A)_{p_0}(p)$$
est la différentielle de $A$ au point $p_0$. Il s'agit d'une application linéaire de l'espace $\mathbf{R}^{n_2}$ à valeurs dans $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$. J'image qu'un tenseur d'ordre $3$ doit être quelque chose comme ça : une application d'un espace vectoriel dans un espace de matrice.

Je pense que tu as oublié que d'appliquer $D(A)_{p_0} = \partial A / \partial p \mid_{p_0}$ à un élément $p$ de $\mathbf{R}^{n_2}$ pour obtenir une matrice, avant d'appliquer $x$.

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide concernant la dérivation d'une application linéaire et sur le calcul tensoriel. J'ai une fonction du type

[tex]\underline{g}(\underline{x},\underline{p}) : \mathbb{R}^{n_x} \times \mathbb{R}^{n_p} \to \mathbb{R}^{n_x}[/tex]

Et plus particulièrement sous la forme :

[tex]\underline{g}(\underline x, \underline p) = \underline{\underline{A(\underline p)}} \underline x - \underline h(\underline x, \underline p)
[/tex]

Avec h(x,p) un vecteur dépendant explicitement de x et de p. Je cherche à obtenir la dérivée partielle de g(x,p) par rapport à p, ce qui devrait donner une matrice/tenseur d'ordre 2. Par règle de chaîne on a bien :

[tex]\underline{\underline{\left(\frac{d \underline g}{d \underline p}\right)}} =\underline{\underline{\underline{\left( \frac{\partial \underline{\underline{ A(\underline p))}}}{\partial \underline p} \right)}
}} \underline{x} - \underline{\underline{ \left(
           \frac{\partial \underline{h(\underline x, \underline p)}}{\partial p} \right)                     }}[/tex]

Donc j'ai un tenseur d'ordre 3 fois un vecteur à gauche et une matrice à droite; Ma question étant comment j'applique l'opération entre le tenseur d'ordre 3 et mon vecteur x ? je suppose que le résultat est de taille [tex]n_x \times n_p[/tex] et que chaque colonne de la matrice dans le terme de gauche est égal à [tex] \frac{\partial A}{\partial p_i} \underline X[/tex] qui pour le coup marche, est-ce que ça vous semble correct mon abomination ? (en soi ça peut être vu directement en remplacant Ax par y et en faisant apparaître les aij)