Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Autant pour moi je n'avais pas compris que c'était une algèbre à la sauce physicienne. Mais merci beaucoup pour vos réponses @Roro,  @bridgslam, @zebulor, @Eust_4che !

J'ai comparé vos méthodes à celles que donnait mon prof pour avoir [tex]\overrightarrow{e_0}\chi  \overrightarrow{e_\theta} \otimes \overrightarrow{e_\theta}[/tex] dans le cas où seules les élements de [tex]\chi[/tex] suivant [tex]\chi _{XYZ} = \chi_{XZY} = \chi_{YXZ} = \chi_{YZX} =\chi_{ZXY} = \chi_{ZYX} = \chi_{0} et \chi_{ZZZ}[/tex] sont non nuls.
J'ai remplacé [tex]\overrightarrow{e_x}[/tex] par [tex]\overrightarrow{e_\theta}[/tex]. Avec la formule de mon prof j'ai [tex]\overrightarrow{e_0}\chi  \overrightarrow{e_\theta} \otimes \overrightarrow{e_\theta} = \sum_{i=X,Y,Z} \sum_{j =X,Y,Z et k = X,Y,Z} e_{0,i}\chi_{ijk}e_{\theta,j}e_{\theta,k} = \chi_{0} sin(2\theta) cos(2\phi)[/tex].
Le résultat doit être un scalaire apparemment.

Et avec la méthode de @Roro j'ai : [tex] \overrightarrow{e_{\theta}} \otimes \overrightarrow{e_{\theta}} = \begin{pmatrix}
cos^2\phi cos ^2 \theta & cos\phi sin\phi cos^2\theta & -cos \phi cos\theta sin\theta\\
cos\phi sin\phi cos^2\theta & sin^2\phi cos^2\theta & -sin \phi cos \theta sin \theta \\
-cos\phi cos\theta sin\theta & -sin \phi cos \theta sin \theta & sin^2 \theta
\end{pmatrix}[/tex]
Et
[tex] \overrightarrow{e_0}\chi = \begin{pmatrix}
0 & 0 & - cos \phi \chi_{YXZ}\\
0 & 0 & sin \phi \chi_{XYZ} \\
- cos \phi \chi_{YZX} & sin \phi \chi_{XZY} & 0 
\end{pmatrix}[/tex].
Je retrouve bien exactement le même résultat si je fais la somme des produits terme à terme des deux matrices ! Merci beaucoup !

Bonjour,

Pour diminuer de 2 la somme des ordres des deux tenseurs, je crois qu'il s'agit du produit contracté (1 fois).
Sinon c'est la somme des ordres , m+n de chaque tenseur.
Il me semble que le produit de ses vecteurs à 3 dimensions est représenté par une matrice 3x3 $(u_i v_j)$ , matrice des produits des composantes des vecteurs u et v.
Hélas je ne suis pas un expert en tenseurs non plus.
(à une époque, j'avais juste étudié la construction universelle pour passer d'une forme bilinéaire à une forme linéaire rendant commutatif un diagramme fléché).
Il y a pas mal de littérature sur le sujet via Internet, purement mathématique, ou orientée , voire vulgarisée, vers la physique.
Un document bien fait, à destination des physiciens, d'Olivier Castera , était disponible sur la toile.

A

Bonjour,

Le problème, en tout cas pour moi, et c'est la raison pour laquelle j'ai pas répondu, est qu'il est là question de tenseurs "au sens physique" et non des tenseurs "au sens mathématiques", ie des objets vérifiant des propriétés de changement de coordonnés, et pas des éléments du produit tensoriel de deux espaces vectoriels (ou de deux modules). J'ai cru comprendre que le produit tensoriel de deux espaces vectoriels de dimension finie permet d'obtenir des tenseurs "au sens physique", mais je n'ai pas l'expertise suffisante pour l'exprimer clairement. Surtout je n'ai pas compris le définition de la "forme du tenseur". Et je pense que c'est le cas de bcp de monde ici (de formation mathématicienne et non physicienne).

Si je comprend qu'il est question du produit tensoriel $\textbf{R}^3 \otimes \textbf{R}^3$ de $\textbf{R}^3$ par lui-même, je dirais que pour calculer $\overrightarrow{e_o} \otimes \overrightarrow{e_\theta}$, il suffit de distribuer les coefficients pour obtenir une combinaison linéaire de $\overrightarrow{e_i} \otimes \overrightarrow{e_j}$ pour $i, j = 1, 2, 3$. Mais je ne sais pas qu'elle est la forme du tenseur résultante.

Comme je ne sais pas ce qu'est un tenseur d'ordre 3, je ne peux pas t'aider plus...

E.