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Bonsoir tout le monde.
S'il vous plait je suis entrain de lire un article sur la corrélation canonique sauf qu'il y'a un paragraphe qui m'embête beaucoup. Je n'y comprend absolument rien.

Le paragraphe:

Soit $\tilde{r}_1^2 \ge ... \ge \tilde{r}_p^2$ les racines de l'équation $|\tilde{M} - \tilde{r}^2_i S_{11}^{*-1}| = 0$ où $\tilde{M} = S_{12} S_{22,n}^{-1}S_{21}$,
et
$$
U =(u_{ij}) = \sqrt{n}(S - \Sigma) = \begin{pmatrix} V & Z \\ Z' & W \end{pmatrix}.
$$
Dans le contexte ci-dessus, nous fournissons le développement asymptotique de la distribution de $\tilde{y}_i = \sqrt{n}(\tilde{r}_i^2 - \rho_i^2)$. Nous exprimons le
développement asymptotique de $\tilde{M}$ comme suit :
\begin{equation*}
    \tilde{M} = \Omega + n^{-1/2}\tilde{M}^{(1)} + n^{-1}\tilde{M}^{(2)} + O_p(n^{-3/2}).
\end{equation*}
Ici, $\Omega = diag(\rho_1^2,...,\rho_p^2)$ et $\tilde{M}^{(k)} = \begin{pmatrix} \tilde{m}_{ij}^{(k)} \end{pmatrix}$ pour $k=1,2$.
Où on considère un échantillon
\begin{equation}\label{complete_data}
    \begin{pmatrix}
        x_{1,1} \\
        x_{2,1}
    \end{pmatrix},
    \begin{pmatrix}
        x_{1,2} \\
        x_{2,2}
    \end{pmatrix}, \ldots,
    \begin{pmatrix}
        x_{1,n} \\
        x_{2,n}
    \end{pmatrix},
\end{equation}
où $x_k = (x'_{1,k}, x'_{2,k})'$, $k = 1, \ldots, n$, sont des observations (i.i.d.) indépendantes et identiquement distribuées de $x$. Désignons par $\bar{x}$ et $S$ la moyenne de l'échantillon et la matrice de covariance correspondantes, exprimées comme suit :
\[
\bar{x} = (\bar{x}'_1, \bar{x}'_{2,n})' = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j,
\]
\[
S = \begin{pmatrix}
    S_{11} & S_{12} \\
    S_{21} & S_{22,n}
\end{pmatrix} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n (x_j - \bar{x})(x_j - \bar{x})'.
\]

Je ne comprend pas comment on fait pour ecrire l'expansion asymptotique de la matrice M

Merci d'avance