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Bonjour Cailloux,

Tout à fait, merci !

Pour rester dans l'esprit de mes questions, cette question pourrait être :

• [...]

• Les courbes entre deux asymptotes verticales successives semblent continues. Est-ce vraiment le cas ?
  Si ce n'est pas le cas, quels points invisibles sur ces courbes "posent problème" ?
  Comment alors doivent être lues les courbes ?

• Comment réécrire la fonction $f$ pour assurer la continuité aux points déterminés à la question précédente ? La fonction est-elle alors dérivable en ces points ?
  Si oui, quelle y est la valeur de la dérivée ?

• [...]

Bonsoir,

L'extension est très jolie, effectivement !
Merci, Cailloux !

De plus, elle illustre la pauvreté d'un très grand nombre (incommensurable ?) d'exercices d'étude de fonctions qui se terminent pour l'élève par « ET ??? ».
Par exemple, que signifie concrètement le fait que la limite de la fonction en $\pi / 4$ est égale à $-1$ ?

L'exercice pourrait aussi se continuer par la question mise en lumière par Cailloux « Y a-t-il d'autres points similaires sur l'intervalle $\left [- \dfrac {5\pi} 4 ; \dfrac {3\pi} 4 \right]$ ? »

Les études de fonctions seraient beauuuucoup plus intéressantes si elles étaient construites sur la représentation de la fonction, et non sur la formulation de la fonction.

Dans le cas présent, les questions pourraient être, en partant de la courbe :

• Apparemment, la fonction est périodique avec des asymptotes verticales. Confirmez cette double observation.

• Les courbes entre deux asymptotes verticales successives semblent continues. Est-ce vraiment le cas ?
  Si ce n'est pas le cas, quels points invisibles sur ces courbes "posent problème" ?
  Comment alors doivent être lues les courbes ?

• Chaque courbe semble être symétrique par rapport à un point. Quel est ce point ? Quelle est la caractéristique principale de ce point ? Confirmez vos observations par calcul.

• D'autres questions qui vous viendraient à l'esprit ? (Je m'adresse au forum ; il ne s'agit donc pas d'une question posée à l'élève. Mais on pourrait permettre des questions ouvertes : « Observez-vous d'autres caractéristiques que vous pourriez confirmer par calcul ?

Avec de telles questions, on entraîne les élèves à avoir une démarche véritablement analytique : j'observe telle et telle caractéristiques, et je les confirme par calcul — et, donc, je les comprends.

C'est quelque chose qu'un certain nombre de profs devraient intégrer !
Je vois pas mal d'élèves frustrés de se voir barrer une solution juste, mais qui ne correspond pas à ce que le prof impose...
Ils en viennent à craindre le prof.

Bonjour,
En toutes circonstances, j'estime que pour un exercice donné, la diversité des solutions est une richesse.
Soit $f:\,x\mapsto \dfrac{1-\sqrt{2}\,\cos\,x}{1-\sqrt{2}\,\sin\,x}$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right[$
En faisant abstraction des points  $A'$ et $A$, on peut prouver que sa courbe représentative présente un centre de symétrie en $\Omega\left(-\dfrac{\pi}{4},0\right)$ (par exemple avec une translation d'axes où la fonction devient impaire).

Et on a :
$$\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{4}}f(x)=-\lim\limits_{x\to -\dfrac{3\pi}{4}}f(x)=-1$$

Bonjour,

Par contre là je ne suis pas d'accord : celles du Seigneur ne le sont pas mais ça dépasse le cadre du sujet !

Bonsoir,

@Borassus : moi aussi

Bonsoir,

Si je peux me permettre, la règle de L'Hospital, c'est quand même nettement plus simple...   :-)

Bonsoir,
je me disais qu'on pouvait trouver des tangentes la dedans, au regard de la courbe de la fonction associée, mais cailloux a trouvé.

@Borassus : il faut garder le dénominateur sous forme factorisée dans un premier temps..

Dès lors la limite cherchée tend vers $\dfrac {1}{2}\dfrac {2cos^2x-1}{\sqrt 2(\sin x) - 1}$

Et on continue en multipliant en haut et en bas par ...

Avec les DL en effet... moyennant peut être un changement de variable ?