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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- chahine28888004
- 05-05-2024 18:20:58
pardon on retrouve bien :
\[
1= x^n \sum_{k = 0}^{n-1} \binom{2n -1}{k} \cdot (1-x)^k \cdot x^{n-1 -k} + (1 - x)^n \cdot \sum_{k= n}^{2n- 1} \binom{2n - 1}{k}\cdot (1 - x)^{k - n} \cdot x^{2n- 1 -k}
\]
j’espère ne pas avoir fait d’autres erreurs (x -> X)
- chahine28888004
- 05-05-2024 18:01:46
Bonsoir,
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ alors $((1- x) + x)^{2n-1}=1$ d’une part
\[
= \sum_{k = 0}^{2n - k} \binom{2n - 1}{k} \cdot (1 - x)^k \cdot x^{2n - 1 - k} \text{ d'autre part}
\]
Montrons l'existence de $(1 - x)^n \cdot F_{n} + x^n \cdot G_{n} = 1$
on sait alors que
\[
1 = \sum_{k = 0}^{2n - 1} \binom{2n - 1}{k} \cdot (1 - x)^k \cdot x^{2n - 1 - k}
\]
or $k-n\geq0$ ssi $k\geq n$
et $2n-1-k-n\geq0$ ssi $k\leq n - 1$
donc
\[
1= x^n \sum_{k = 0}^{n-1} \binom{2n -1}{k} \cdot (1-x)^k \cdot x^{n-1 -k} + (1 - x)^k \cdot \sum_{k= n}^{2n- 1} \binom{2n - 1}{k}\cdot (1 - x)^{k - n} \cdot x^{2n- 1 -k}
\]
donc en identifiant $F_n$ et $G_n$ aux sommes respectives, on voit qu’ils sont bien définis et en étudiant le degré de chacun on montre alors l’existence du couple solution de l’équation
- Ju20081977
- 04-05-2024 11:27:41
En effet j'ai essayé et j'ai obtenue une expression qui ressemble à En
Le problème est que je n'arrive pas à la séparer et à faire ressortir exactement le bon Fn et le bon Gn...
Je trouve différentes expressions sans savoir laquelle est bonne.
La question suivante demande d'expliciter F1 et F2.
Comme je ne suis pas sûre de mes expressions de Fn et Gn, je ne peux pas continuer le DNS puisqu'il faut s'appuyer dessus tout au long...
Merci à vous
- Michel Coste
- 03-05-2024 19:00:15
Bonsoir,
As-tu essayé de développer ce qu'on te propose en utilisant la formule du binôme ?
- Ju20081977
- 03-05-2024 15:48:48
Bonjour,
Je suis bloquée à la première question de mon dm de maths et j'en ai besoin pour tout le dns. Pouvez vous m'aider svp ?
~
Dans ce problème on note R [X] l'ensemble des polynômes formels à une indéterminée à coefficietis ronis que Con confondra avec les fonctions polynômes de IR vers R.
n désignera un entier naturel non nul.
On note mathbb R n - 1 [X] l'ensemble des polynômes de R [X] de degré strictement inférieur à
On étudie dans ce problèmes les couples F_{n}, G_{n} ) vérifiant:
( E n ): (1 - X) ^ n * F_{n} + X ^ n * G_{n} = 1et(F_{n}, G_{n}) in( mathbb R n-1 ,[X])^ 2
Arithmétique
1. (a) Du calcul de ((1 - X) + X) ^ (2n - 1) déduire l'existence d'un couple (F_{n}, G_{n}) solution de (En). On ne demande pas ici de calculer les coefficients de ces polynômes.
Merci de m'aider
Bonne journée