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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Bouillabesse
- 08-04-2024 21:49:56
Re,
En effet erreur de ma part, j'ai confondu avec les symétries
Merci pour vos pistes, j'essaye ce soir et reviens vers vous si ça n'aboutit pas.
Bonne soirée
- Glozi
- 07-04-2024 22:55:20
Je n'avais pas vu que Fred avait répondu :-)
Au fait $1$ est toujours une valeur propre dès que $p$ est non nul (on peut prendre $f=p$). Cela se voit aussi dans la méthode de Fred puisque $2\lambda-1\in \{0,1\} \Leftrightarrow \lambda\in \{\frac{1}{2},1\}$.
Bonne soirée
- Glozi
- 07-04-2024 22:47:40
Bonsoir,
Je ne vois pas comment aboutir avec cette stratégie (ça n veut pas dire que ce n'est pas possible). Je vois une erreur quand tu dis que les deux expressions sont égales (l'une est $p\circ f\circ p+p\circ f$ l'autre $p\circ f\circ p+f\circ p$).
Je vois une approche matricielle, prenons une base $\mathcal{B}$ dans laquelle la matrice de $p$ est $\begin{pmatrix} I_r & 0_{r,n-r}\\ 0_{n-r,r} & 0_{n-r,n-r}\end{pmatrix}$ (écriture par blocs). Dans cette base on écrit la matrice de $f$ comme $M=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}$ (écriture par blocs avec la même taille des blocs que pour l'écriture de $p$), calculer matriciellement $\frac{1}{2}(p\circ f+f\circ p)$ et $\lambda f$, je te laisse poursuivre.
Bonne soirée
- Fred
- 07-04-2024 22:46:05
Bonsoir,
Attention! Quand tu composes, tu as $p^2=p$ et non $p^2=Id$ et donc ce que tu obtiens est faux.
Voici une piste pour débuter et trouver des valeurs propres :
Soit $f$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.
Si $x\in \ker(p)$, alors $f\circ p(x)+p\circ f(x)=p\circ f(x)$ et on veut que ce soit égal à $2\lambda f(x)$.
Donc ou bien $f(x)=0$ ou bien $\lambda=0$ ou $\lambda=1/2$ puisque les seules valeurs propres de $p$ sont $0$ et $1$.
Si $x\in \textrm{Im}(p)$, alors $f\circ p(x)+p\circ f(x)=f(x)+p\circ f(x)$ et on doit avoir
$p\circ f(x)=(2\lambda-1)f(x)$. A nouveau, on en déduit que $f(x)=0$ ou bien que $(2\lambda-1)\in\{0,1\}$.
On doit obtenir encore que $\lambda=0$ ou $\lambda=1/2$.
Maintenant, il faut un peu discuter pour savoir si $0$ et $1/2$ sont bien des valeurs propres, et pour trouver la dimension des sous-espaces propres associés (qui va sans doute dépendre de la dimension de $\ker(p)$ et $\textrm{Im}(p)$...).
F.
[edit : Ah! En même temps que Glozi qui explore une autre méthode! ]
- Bouillabesse
- 07-04-2024 20:23:07
Bonsoir à tous,
Je viens de retrouver un exercice sur les valeurs propres, et suis à court d'idées pour la résolution.
Le voilà :
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p un projecteur fixé de E et : [tex]F : L(E) \to L(E)[/tex] définie par :
[tex]F : f \mapsto \frac{1}{2} (f \circ p + p \circ f) [/tex]
a. F est-elle linéaire ?
b. Donner ses valeurs propres
c. Quelles sont les dimensions des sous-espaces propres associés ?
J'en suis là :
a. Oui (il suffit de l'écrire), il y a linéarité de la composition dans L(E)
b. Soit [tex] \lambda [/tex] une valeur propre. Alors il existe f non nul tel que [tex] \frac{1}{2} (f \circ p + p \circ f) = \lambda . f[/tex]... (*) J'ai pensé à composer par p d'abord à gauche sur (*), puis à nouveau sur (*) mais à droite, j'obtiens
[tex]2 \lambda p \circ f = p \circ f \circ p + f [/tex] car p projecteur
[tex]2 \lambda f \circ p = f + p \circ f \circ p [/tex]
Ces deux expressions étant égales, [tex]\lambda (p \circ f - f \circ p) = 0[/tex]
Donc soit f et p commutent, soit 0 est valeur propre (ce qui d'après (*) revient à dire qu'ils anticommutent)... Et je ne vois comment m'en sortir à partir de là.
Pourriez-vous m'éclairer ?
Bonne soirée