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Bonsoir,
Pour ta fonction $f : x \mapsto e^{-x\ln(x)},$ elle est au moins définie sur $]0,1]$ et est continue sur cet intervalle. Si elle était continue sur $[0,1]$ alors on pourrait conclure car une fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment. Dans ton cas on peut montrer que ta fonction se prolonge par continuité en $0$, ce qui règle le problème.
De manière plus générale, tu as plein de critères pour montrer qu'une fonction est intégrable, par exemple : https://www.bibmath.net/ressources/inde … opres.html
Bonne soirée