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Bonjour,

Si l'énoncé est correct il n'est pas trop dur de voir à quoi est égal $B_n$, puis $B_{n-1}$ et les autres par récurrence simple en descendant l'exposant k:
par exemple de $B_k = X^k(1-X)^{n-k}$ on tire facilement que $X^k$ est une combinaison linéaire si à ce stade c'est fait pour les rangs k+1, ....,n.
On a n+1 polynômes qui engendrent donc un espace vectoriel de dimension n+1. Donc...

Une autre façon de procéder consisterait à voir directement que la famille proposée est libre puisque les polynômes sont de valuations distinctes.

A.

bonsoir comment allez vous,

j'ai une question ou bien un problème que je n'arrive pas à résoudre
Soit $ n \in \mathbb N,\; \forall k \in [[0,n]]$, on pose $B_k = x^k(1-x)^{n-k}$
1. Montrer que $\forall k \in [[0,n]],\, x^i$ est combinaison linéaire de $B_0,...,B_n$.
Qu’en déduit-on ?