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Bonjour,

La fonction que vous proposez est continue pour les topologies habituelles ( associées à la distance réelle) sur l'espace de départ et l'espace d'arrivée.
Elle n'est pas continue partout avec la nouvelle topologie de votre pb, je vous ai pratiquement indiqué pourquoi, et j'ai insisté sur le fait que la continuité est relative aux topologies considérées.

Par exemple en -1, l'image par votre fonction est 2. Pouvez-vous trouver un ouvert contenant -1, dont l'image est dans l'ouvert ]1 , +inf [ ( voisinage de 2) ?

A.

Bonsoir,

4/ Une partie A sera dense ssi tout ouvert non vide de T contient un point de A, donc... il est facile de les caractériser.

6/ Si m est pair, fm n'est pas continue aux points négatifs contrairement à votre affirmation préliminaire (en plus de ne pas être bijective).
En effet l'image d'un voisinage quelconque d'un tel point x négatif contient toujours au moins 0, pas présent dans tous les voisinages de f(x)> 0.
C'est une façon de faire, parmi d'autres.

NB: la notion de continuité dépend par définition des topologies considérées au départ et à l'arrivée, ici T est bien différente de la topologie usuelle de $\mathbb{R}$, cela induit des propriétés logiquement (en général ) bien différentes selon les fonctions considérées.

Re-rédiger la question 1/ n'est pas une option inutile non plus, pour faire ressortir ( ou se persuader que ...)  la réunion doit être une opération close pour toutes familles d'ouverts. Sans la propriété fondamentale des réels qui permet d'éponger tous les cas, on serait mal. Je pense que la solution à la question doit au minimum le faire ressortir (au lieu d'écrire une chose fausse).

En regardant de plus près vos assertions, il est faux aussi que les points de $\mathbb{N}$ sont isolés.
Tout voisinage d'un naturel n contient entre autres  n+1, n+2, ... donc une infinité de réels distincts de n, chaque entier est donc un point d' accumulation.

A.

Bonjour, j'ai essayé de corriger mes erreurs pour les questions 2, 3, 4 et 6.

2/ On munit ℝ de la topologie T_R.
Déterminer l’intérieur, l’adhérence, la frontière, les points d’accumulation et les points isolés de ]-∞,-1[ U {∅} et ℕ.

Les fermés de T_R sont : {]-∞,r],∅,ℝ}
Les ouverts de T_R sont : {]r,+∞[,∅,ℝ}

Pour ]-∞,-1[ U {0} :
• Intérieur : ∅
• Adhérence : ]-∞,0]
• Frontière : ]-∞,0] \ ∅ = ]-∞,0]
• Points d’accumulation : ]-∞,-1[
• Points isolés : 0

Pour ℕ = {0,1,2,3,…} :
• Intérieur : ∅
• Adhérence : ℝ
• Frontière : ℝ \ ∅ = ℝ
• Points d’accumulation : ∅
• Points isolés : ℕ

3/ L’espace topologique (ℝ,T_R) est-il séparable ?
L’espace topologique (ℝ,T_R) est séparable car il contient ℕ qui est dense et dénombrable car, d’après la question 2, l'adhérence de ℕ = ℝ.

4/ Déterminer toutes les parties denses de l’espace topologique (ℝ,T_R).
adhérence de ℝ =  ℝ
adhérence de ℕ = ℝ
adhérence de ℚ = ℝ
Donc ℝ, ℕ, ℚ sont denses dans (ℝ,T_R).

6/ Pour tout entier m ≥ 1 et x ∈ ℝ, on pose f_m(x) = mx^m.
Déterminer l’ensemble des valeurs de m telles que f_m est un homéomorphisme de (ℝ,T_R) sur (ℝ,TR).
f_m est un homéomorphisme de (ℝ,TR) sur (ℝ,TR) si f_m est une bijection continue et si f_m^-1 est continue.
• f_m : (ℝ,T_R) → (ℝ,T_R) est continue sur ℝ ∀ m.
             x     ↦   mx^m
• f_m^-1 : (ℝ,T_R) → (ℝ,T_R) est continue sur ℝ₊ ∀ m.
               y    ↦  (y/m)^1/m
• f_m n’est pas bijective si m est pair.
mais on a f_m(f_m^-1(y)) = f_m((y/m)^1/m) = m × ((y/m)^1/m)^m =  m × y/m = y
f_m^-1(f_m(x)) = f_m^-1(mx^m) = ((mx^m)/m)^1/m = (x^m)^1/m = x
Donc f_m est bijective si m est impair.
Ainsi f_m est un homéomorphisme si m est impair.

Pour la question 6, je ne comprends pas trop à quel moment je dois me servir de la topologie T_R

Bonsoir,

Comme pour l'autre post , même réponse pour le 1/:

Par exemple min(1/n) n'a pas de sens pour la famille d'ouverts
{ ]1/n, +inf[ }.

Il faut prendre la borne inf des $r_i$ qui d'ailleurs n'est pas forcément finie dans le cas général.

A.

Bonjour, j'ai fait l'exercice suivant. Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct ?

1/ Démontrer que la famille T_R = {]r,+∞[ : r ∈ ℝ} U { ℝ} U {∅} définit une topologie sur ℝ.

• ∅ ∈ T_R et  ℝ ∈ T_R par définition de T_R
• toute réunion d'ouverts est un ouvert : U]r_i,+∞[ = ]min(r_i),+∞[
• toute intersection finie d'ouverts est un ouvert : ]a,+∞[ ∩ ]b,+∞[ = ]max(a,b),+∞[

2/ On munit ℝ de la topologie T_R.
Déterminer l’intérieur, l’adhérence, la frontière, les points d’accumulation et les points isolés de ]-∞,-1[ U {∅} et ℕ.

Adhérence : plus petit fermé contenant ]-∞,-1[ U {∅}
Les fermés de T_R sont : {]-∞,r],∅,ℝ}
Intérieur : plus grand ouvert contenu dans ]-∞,-1[ U {∅}
Les ouverts de T_R sont : {]r,+∞[,∅,ℝ}

Pour ]-∞,-1[ U {∅} :
• Intérieur : ∅
• Adhérence : ]-∞,1]
• Frontière : ]-∞,1] \ ∅ = ]-∞,1]
• Points d’accumulation : ]-∞,-1[
• Points isolés : ∅

Pour ℕ :
• Intérieur : ]r,+∞[ avec r = max(0,r)
• Adhérence : ℝ
• Frontière : ℝ \ ]r,+∞[ = ]-∞,r]
• Points d’accumulation : ∅
• Points isolés : ℕ

3/ L’espace topologique (ℝ,T_R) est-il séparable ?

L’espace topologique (ℝ,T_R) est séparable s'il existe une partie A de (ℝ,T_R) qui est dénombrable et dense dans (ℝ,T_R).

(ℝ,T_R) est séparable si il contient une partie A dénombrable et dense (adhérence de A = ℝ).
L’espace topologique (ℝ,T_R) n’est pas séparable car :
• ]r,+∞[ = [r,+∞[ ≠ ℝ donc ]r,+∞[ n’est pas dense
• ℝ n’est pas dénombrable
• ∅ = ∅ ≠ ℝ donc ∅ n’est pas dense
donc ℝ ne contient pas de partie dense et dénombrable dans (ℝ,T_R)
donc (ℝ,T_R) n’est pas séparable.

4/ Déterminer toutes les parties denses de l’espace topologique (ℝ,T_R).

On a T_R = {]r,+∞[ : r ∈ ℝ} U {ℝ} U {∅}.
Une partie A est dense si son adhérence vaut ℝ.
D’après la question 3, [r,+∞[ et ∅ ne sont pas denses.
On a  ℝ =  ℝ qui est la seule partie dense de (ℝ,T_R).

5/ Pour tout entier n ≥ 1, on pose xn = exp(n) - π.

Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (x_n)n≥1 dans (ℝ,T_R).
y est une valeur d’adhérence si ∀ V ∈ Ꮙ(y), ∀ n ≥ 1, ∃ n ≥ n | x_n ∈ V/
Comme n ≥ 1, alors x_n ≥ - π et lim_n→+∞ x_n → +∞, la suite est strictement croissante donc elle n’admet de valeurs d’adhérence.

6/ Pour tout entier m ≥ 1 et x ∈ ℝ, on pose f_m(x) = mx^m.
Déterminer l’ensemble des valeurs de m telles que f_m est un homéomorphisme de (ℝ,T_R) sur (ℝ,T_R).

f_m est un homéomorphisme de (ℝ,T_R) sur (ℝ,T_R) si f_m est une bijection continue et si f_m^-1 est continue.
f_m(x) est continue.
f_m^-1(y) = (y/m)^1/m est continue.
f_m(f_m^-1(y)) = f_m((y/m)^1/m) = m × ((y/m)^1/m)^m =  m × y/m = y
f_m^-1(f_m(x)) = f_m^-1(mx^m) = ((mx^m)/m)^1/m = (x^m)^1/m = x
Donc f est bijective.

7/ Soit T_d la topologie usuelle sur ℝ.

L’espace topologique (ℝ×ℝ,T_R×T_d) est séparé si (ℝ,T_R) et (ℝ,T_d) sont séparés.
On a T_R = {]r,+∞[ : r ∈ ℝ} U { ℝ} U {∅} et T_d = {P(X)}.
Si les (X_j,T_j) sont tous séparés alors l'espace produit est séparé.
Donc voyons si (ℝ,T_R) et (ℝ,T_d) sont séparés.
(ℝ,T_R) est T₂ si pour tout couple (x,y) de points distincts de ℝ, il existe 2 ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre y.
On prend (x+y)/2 ∈ ]r,+∞[, alors si ]r,+∞[ contient min(x,y) alors il contient max(x,y) donc (ℝ,T_R) n’est pas T₁ donc pas T₂.
Comme (ℝ,T_R) n’est pas séparé, alors (ℝ×ℝ,T_R×T_d) ne peut pas l’être.