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Bonsoir
2) Je crois que tu confonds $\emptyset$ et $0$.

3) Le raisonnement pour séparable ne fonctionne pas puisque tu as trouvé 3 ensembles qui n'étaient pas denses ou pas dénombrables pour prouver qu'il n'existe aucun ensemble dénombrable dense. En plus, ta réponse est en contradiction avec ce que tu as trouvé à la question 2.

4) Là aussi c'est faux, et en plus tu as déjà trouvé un ensemble non trivial dense.

Bonjour, j'ai fait l'exercice suivant. Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct ?

1/ Démontrer que la famille T_R = {]r,+∞[ : r ∈ ℝ} U { ℝ} U {∅} définit une topologie sur ℝ.

• ∅ ∈ T_R et  ℝ ∈ T_R par définition de T_R
• toute réunion d'ouverts est un ouvert : U]r_i,+∞[ = ]min(r_i),+∞[
• toute intersection finie d'ouverts est un ouvert : ]a,+∞[ ∩ ]b,+∞[ = ]max(a,b),+∞[

2/ On munit ℝ de la topologie T_R.
Déterminer l’intérieur, l’adhérence, la frontière, les points d’accumulation et les points isolés de ]-∞,-1[ U {∅} et ℕ.

Adhérence : plus petit fermé contenant ]-∞,-1[ U {∅}
Les fermés de T_R sont : {]-∞,r],∅,ℝ}
Intérieur : plus grand ouvert contenu dans ]-∞,-1[ U {∅}
Les ouverts de T_R sont : {]r,+∞[,∅,ℝ}

Pour ]-∞,-1[ U {∅} :
• Intérieur : ∅
• Adhérence : ]-∞,1]
• Frontière : ]-∞,1] \ ∅ = ]-∞,1]
• Points d’accumulation : ]-∞,-1[
• Points isolés : ∅

Pour ℕ :
• Intérieur : ]r,+∞[ avec r = max(0,r)
• Adhérence : ℝ
• Frontière : ℝ \ ]r,+∞[ = ]-∞,r]
• Points d’accumulation : ∅
• Points isolés : ℕ

3/ L’espace topologique (ℝ,T_R) est-il séparable ?

L’espace topologique (ℝ,T_R) est séparable s'il existe une partie A de (ℝ,T_R) qui est dénombrable et dense dans (ℝ,T_R).

(ℝ,T_R) est séparable si il contient une partie A dénombrable et dense (adhérence de A = ℝ).
L’espace topologique (ℝ,T_R) n’est pas séparable car :
• ]r,+∞[ = [r,+∞[ ≠ ℝ donc ]r,+∞[ n’est pas dense
• ℝ n’est pas dénombrable
• ∅ = ∅ ≠ ℝ donc ∅ n’est pas dense
donc ℝ ne contient pas de partie dense et dénombrable dans (ℝ,T_R)
donc (ℝ,T_R) n’est pas séparable.

4/ Déterminer toutes les parties denses de l’espace topologique (ℝ,T_R).

On a T_R = {]r,+∞[ : r ∈ ℝ} U {ℝ} U {∅}.
Une partie A est dense si son adhérence vaut ℝ.
D’après la question 3, [r,+∞[ et ∅ ne sont pas denses.
On a  ℝ =  ℝ qui est la seule partie dense de (ℝ,T_R).

5/ Pour tout entier n ≥ 1, on pose xn = exp(n) - π.

Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (x_n)n≥1 dans (ℝ,T_R).
y est une valeur d’adhérence si ∀ V ∈ Ꮙ(y), ∀ n ≥ 1, ∃ n ≥ n | x_n ∈ V/
Comme n ≥ 1, alors x_n ≥ - π et lim_n→+∞ x_n → +∞, la suite est strictement croissante donc elle n’admet de valeurs d’adhérence.

6/ Pour tout entier m ≥ 1 et x ∈ ℝ, on pose f_m(x) = mx^m.
Déterminer l’ensemble des valeurs de m telles que f_m est un homéomorphisme de (ℝ,T_R) sur (ℝ,T_R).

f_m est un homéomorphisme de (ℝ,T_R) sur (ℝ,T_R) si f_m est une bijection continue et si f_m^-1 est continue.
f_m(x) est continue.
f_m^-1(y) = (y/m)^1/m est continue.
f_m(f_m^-1(y)) = f_m((y/m)^1/m) = m × ((y/m)^1/m)^m =  m × y/m = y
f_m^-1(f_m(x)) = f_m^-1(mx^m) = ((mx^m)/m)^1/m = (x^m)^1/m = x
Donc f est bijective.

7/ Soit T_d la topologie usuelle sur ℝ.

L’espace topologique (ℝ×ℝ,T_R×T_d) est séparé si (ℝ,T_R) et (ℝ,T_d) sont séparés.
On a T_R = {]r,+∞[ : r ∈ ℝ} U { ℝ} U {∅} et T_d = {P(X)}.
Si les (X_j,T_j) sont tous séparés alors l'espace produit est séparé.
Donc voyons si (ℝ,T_R) et (ℝ,T_d) sont séparés.
(ℝ,T_R) est T₂ si pour tout couple (x,y) de points distincts de ℝ, il existe 2 ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre y.
On prend (x+y)/2 ∈ ]r,+∞[, alors si ]r,+∞[ contient min(x,y) alors il contient max(x,y) donc (ℝ,T_R) n’est pas T₁ donc pas T₂.
Comme (ℝ,T_R) n’est pas séparé, alors (ℝ×ℝ,T_R×T_d) ne peut pas l’être.