Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je pense que dans ton cours on ne parle pas de polynôme en plusieurs variables. Ne t'inquiète pas si tu ne comprends pas ce que j'ai écrit.
Bien sûr que dans un polynôme on peut remplacer une variable par $0$.
Je réécris un peu différemment ce que j'ai raconté dans le message précédent. On se place dans $K[X,Y]$, que l'on peut identifier à l'anneau $K[X][Y]$ des polynômes en $Y$ à coefficients dans l'anneau des polynômes en $X$. Soit $P\in K[X]$. Alors $P(X+Y)-P(X)$ est divisible par $Y$ dans $K[X,Y]$ : il existe $Q(X,Y)\in K[X,Y]$ tel que $P(X+Y)-P(X)=YQ(X,Y)$. On obtient le polynôme dérivé $P'$ en faisant $Y=0$ dans le quotient $Q$ : $P'(X)=Q(X,0)$.
Il suffit de vérifier cette affirmation en prenant pour $P$ un monôme $X^n$ :
$$(X+Y)^n -X^n= Y Q(X,Y)\quad\text{où}\quad Q(X,Y)=nX^{n-1}+\binom{n}2X^{n-2}Y+\binom{n}3X^{n-3}Y^2+\cdots+Y^{n-1}\;.$$On trouve bien $Q(X,0)=nX^{n-1}$.

Il n'en reste pas moins que, si $P\in K[X]$, alors $P(X+Y)-P(X)$ est divisible par $Y$ dans $K[X,Y]$ et $P'(X)$ est ce qu'on obtient en faisant $Y=0$ dans $\dfrac{P(X+Y)-P(X)}{Y}$.
Autrement dit, on divise l'accroissement du polynôme par l'accroissement de la variable, et on égale cet accroissement à $0$ dans le quotient.

Bonjour ,
         Merci pour votre réponse , mais pourriez-vous clarifier la partie concernant la dérivations définies formellement  .

Bonjour,
Si $P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$, alors $a_k=\dfrac{P^{(k)}(0)}{k!}$