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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 24-01-2024 21:38:19
Pas besoin de notions de M1-M2, pas besoin non plus d'aller chercher un cours sur la radioactivité !
C'est juste un petit exercice sur la loi exponentielle.
La durée de vie $X$ d'un atome de carbone 14 suit une loi exponentielle.
La variable aléatoire $N_t$ est le nombre d'atomes de carbone 14 qui survivent au temps $t$. C'est donc la somme de $N_0$ épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès $\mathbb P(X>t)$. La loi de $N_t$ est donc une loi binomiale dont on connaît les paramètres. Comme $N_0$ est grand a priori, on peut approcher cette loi par une loi normale.
Mais l'énoncé ne demande pas la loi de $N_t$, et j'ai en fait fortement l'impression que ses questions concernent l'espérance de $N_t$ et pas $N_t$ elle-même. En gros l'énoncé fait comme si $N_t$ était une quantité dépendant de $t$, et pas une variable aléatoire. Cette approximation peut se justifier, mais l'énoncé est très confus à ce sujet.
- Carnot8
- 24-01-2024 16:52:40
Je ne sais pas.
Une espérance qui réagit comme une variable aléatoire, on la voit à partir du niveau M1/M2.
L'exercice en question est de niveau Terminale scientifique.
Il faut utiliser des notions issues d'un cours sur la radioactivité et sur la datation au Carbone 14, issu du cours de Physique, Terminale scientifique.
- Michel Coste
- 24-01-2024 16:33:38
L'énoncé me semble bizarre. Je me demande si en fait l'énoncé ne confond pas $N_t$ (variable aléatoire à valeurs entières) et son espérance.
- Carnot8
- 24-01-2024 16:31:20
La question 3 demande d’exprimer [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = e^{ - \lambda t }[/tex] en fonction de [tex]N_t[/tex] et de [tex]N_0[/tex].
Quelle est l'expression de la variable aléatoire [tex]N_t[/tex] ?
Merci d'avance.
- Michel Coste
- 24-01-2024 16:30:30
Tu as trouvé l'erreur de signe.
- Carnot8
- 24-01-2024 16:30:23
On a, [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = \displaystyle \int_{ t }^{ + \infty} \lambda e^{ - \lambda x } dx = [ - e^{ - \lambda x } ]_{ t }^{ + \infty } = - \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } e^{ - \lambda x } - ( - e^{ - \lambda t } ) = - (- e^{ - \lambda t } ) = e^{ - \lambda t } [/tex]
Correct ?
- Carnot8
- 24-01-2024 16:25:22
Oui, c'est choquant, mais je n’arrive pas à trouver où j’ai fait l'erreur.
- Michel Coste
- 24-01-2024 16:06:34
Une probabilité négative, ça ne te choque pas ?
- Carnot8
- 24-01-2024 15:29:32
La question 3 demande d’exprimer [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = - e^{ - \lambda t }[/tex] en fonction de [tex]N_t[/tex] et de [tex]N_0[/tex].
Quelle est l'expression de la variable aléatoire [tex]N_t[/tex] ?
Merci d'avance.
- Carnot8
- 24-01-2024 15:21:43
D’accord. Merci.
Soit [tex]\lambda[/tex] le paramètre de la loi de [tex]X[/tex].
La question 2 demande de calculer [tex]\mathbb{P} ( X \leq t )[/tex] et [tex]\mathbb{P} ( X \leq t ) > t[/tex] en fonction de [tex]t[/tex] et de [tex]\lambda[/tex].
On a, [tex]\mathbb{P} ( X \leq t ) = \displaystyle \int_{- \infty }^{t} \lambda e^{ - \lambda x } dx = [ - e^{ - \lambda x } ]_{ 0 }^t = - e^{ - \lambda t } + \displaystyle \lim_{ x \to 0 } e^{ - \lambda x } = 1 - e^{ - \lambda t } [/tex]
On a, [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = \displaystyle \int_{ t }^{ + \infty} \lambda e^{ - \lambda x } dx = [ - e^{ - \lambda x } ]_{ t }^{ + \infty } = \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } e^{ - \lambda x } - e^{ - \lambda t } = - e^{ - \lambda t } [/tex]
Correct ?
- Michel Coste
- 24-01-2024 13:53:50
La propriété fondamentale de la loi exponentielle est d'être la loi d'un phénomène sans mémoire, c.-à-d. que pour tous réels positifs $s,t$, on a ${\mathbb P}(X>s+t\mid X>s)={\mathbb P}(X>t)$.
- Carnot8
- 24-01-2024 12:32:16
La 1 ère question de l'exercice demande de déterminer la loi de [tex]X[/tex] ?
Tu m’as répondu Michel que la loi de [tex]X[/tex] est la loi exponentielle. Pourquoi la loi de [tex]X[/tex] est la loi exponentielle ?
- Carnot8
- 24-01-2024 12:16:43
Quelle est la définition de la loi exponentielle ?
La loi exponentielle est définie par, [tex]\mathbb{P} ( a \leq T \leq b ) = \displaystyle \int_{a}^{b} \lambda e^{ - \lambda t } dt[/tex] pour une certaine variable aléatoire [tex]T[/tex] qui est soit [tex]X[/tex] soit [tex]N_t[/tex]. Je n’arrive pas à trancher.
- Michel Coste
- 24-01-2024 12:06:08
Quelle est la définition de la loi exponentielle ?
- Carnot8
- 24-01-2024 11:52:35
Bonjour Michel,
Oui, mais on est face à deux variables aléatoires qui se battent pour une seule loi qui est la loi exponentielle. :-D
Pourquoi la loi de [tex]X[/tex] est la loi exponentielle ?
Quelle est la loi de [tex]N_t[/tex] ?
Merci d'avance.