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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 20-01-2024 12:22:59
Bonjour,
Si ce n'est pas une blague (je préfèrerais), vous avez tous les moyens de répondre si vous avez lu les posts précédents:
- exhiber une valeur d'adhérence de la suite
- montrer que c'est la seule.
Pour ce deuxième point (un peu plus subtil ) je vous donne un petit coup de pouce: pour cette suite particulière, en considérant deux parties disjointes infinies de $\mathbb{N}$ (partition en fait) une suite extraite quelconque qui converge dans $\overline{\mathbb{R}}$ a une seule possibilité de limite finie, ou tend vers $+\infty$.
Vous pouvez aussi faire une preuve directe sans passer par cette remarque.
Analogie avec deux valeurs d'adhérences finies: la suite $u_n = 1/(n+1)$ si n est pair et $u_n = 1 + 1/(n+1)$ si n est impair.
L'idée de partition est commune à mes deux exemples: quand d'un côté on a le beurre et d'u côté opposé on a l'argent du beurre, plus moyen d'aller folâtrer avec la fermière...
Variante mathématique à la c... du fameux dicton, :-)
A.
- tilda
- 20-01-2024 11:17:10
Bonjour Alain
La suite 0, 1/2, 1, 1/3, 2, 1/4, 3, 1/5, ... possède une seule valeur réelle d'adhérence
laquelle ici ?
Merci beaucoup
- bridgslam
- 20-01-2024 02:55:25
Bonjour,
Pour être moins formel, cela signifie que la suite est aussi proche que l'on veut de $\lambda$ une infinité de fois.
C'est moins fort que "à partir d'un certain rang".
Par exemple la suite $(-1)^n$ en a deux: 1 et -1.
Cela revient à dire aussi qu'une suite extraite au moins converge vers cette valeur.
Autre résultat, souvent plus pratique: a est une valeur d'adhérence de la suite u <=> a est une valeur prise une infinité de fois par u ou est un points d'accumulation des iamages par u.
Une suite peut en quelque sorte "s'agglutiner" au fil de ses images autour de plusieurs valeurs , ce sont ses valeurs d'adhérence.
Si on se place dans $\mathbb{R}$, une suite peut avoir 0, 1 ( si convergente par exemple ), ou plusieurs.
La suite 0, 1/2, 1, 1/3, 2, 1/4, 3, 1/5, ... possède une seule valeur réelle d'adhérence , mais n'est pas convergente.
Si la suite est bornée, elle en a au moins une.
A.
- Lune66
- 19-01-2024 21:11:40
Le pour tout [tex]m \geq 0[/tex] est la meme chose que [tex] \displaystyle \bigcap_{ m \geq 0 }[/tex] dans [tex]\lambda \in \displaystyle \bigcap_{ n \geq 0 } \overline{ \{ \ u_k \ | \ k \geq n \ \} } [/tex], il me semble.
- tilda
- 19-01-2024 20:33:09
le pour tout m>=0 dans la définition que j'ai écrite dessus que je n'ai pas compris ?
- Lune66
- 19-01-2024 17:46:47
Bonsoir,
Si je ne m’abuse, la définition d'une valeur d’adhérence [tex]\lambda[/tex] d'une suite [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] que tu utilises n'est que la traduction de la définition ensembliste qui dit que, [tex]\lambda[/tex] est une valeur d’adhérence d'une suite [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] si [tex]\lambda \in \displaystyle \bigcap_{ n \geq 0 } \overline{ \{ \ u_k \ | \ k \geq n \ \} } [/tex]. Voir ici : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … aladh.html pour en savoir plus.
Cordialement.
- tilda
- 19-01-2024 11:49:07
Bonjour
pourriez-vous s'il vous plait m'expliquer cette définition d'une valeur d'adhérence lambda :
pour tout eps>0 , pour tout m>=0 , il existe n>=m , d(xn,lambda)<eps
Merci