Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je ne peux qu'appuyer Eust_4che. Reprenez les définitions de base, refaîtes vous-même les preuves des résultats principaux 1 ou 2 jours après les avoir regardé,
là vous semblez vraiment tout mélanger, avec en plus des phrases qui ne veulent rien dire: "complet si on aura besoin de l'unicité de la limite par exemple"
n'a vraiment aucun sens. Un espace métrique est complet ou pas selon sa métrique, pas selon que vous en aurez besoin ou pas.

Comme je l'avais mentionné dans un post précédent, le but ici n'est pas de vous refournir les définitions et les théorèmes de base, que vous avez certainement dans vos notes de cours, livres, et sur le web à tous les coins de clics.
Reprenez gentiment tout cela ce qui évitera à vos interlocuteurs sur ce forum de n'enfoncer que des portes ouvertes, ce qui ne vous fera pas à proprement parler progresser.

A.

Bonjour,

Si ! Un espace métrique est toujours séparé. Pour le démontrer, il te suffit que reprendre l'axiome : $d(x, y) = 0$ si, et seulement si, $x = y$. Comme l'a dit Bridgslam dans un précédent poste, il faut vraiment que tu reprennes tes notes de cours.

E.

Non, complet signifie que toute suite de Cauchy converge. L'unicité de la limite est vérifiée dans tout espace topologique séparé, ce qui est le cas d'un espace métrique.

Bonjour,

Que l'espace métrique soit complet ne change rien à l'affaire:
le point de convergence  d'une suite convergente de F appartient à son adhérence, qui est égale à F si F est fermé.

La réciproque est d'ailleurs vraie dans les espaces métriques: F est fermé <=> F contient les limites de ses suites convergentes.

Bonne journée
A.