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Merci ; Je comprends mieux maintenant .

Bonjour
Si $P \in A[X]$ est un polynôme à coefficients dans un anneau $A$, d'indéterminée $X$, défini par $P = \sum_{i=0}^n a_iX^i$, on peut définir une fonction $\tilde{P}$ définie sur $A$ par $\tilde{P}(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$, et appelée fonction polynomiale associée à $P$.
Cependant toute fonction définie sur $A$ n'est pas forcément polynomiale (par exemple la fonction exponentielle définie sur $\mathbb{R}$). De plus, deux polynômes distincts peuvent avoir la même fonction polynomiale associée. Par exemple si $A=\mathbb{F}_p$ avec $p$ un nombre premier (le corps des classes de congruences modulo $p$), alors la fonction polynomiale associée au polynôme $P=X^p-X$ est la fonction nulle mais $P$ n'est pas le polynôme nul.
Si $A$ est un corps fini, toute fonction définie sur $A$ et à valeurs dans $A$ est polynomiale. Tandis que si $A$ est un corps infini, deux polynômes distincts ont des fonctions polynomiales distinctes. Autrement dit, dans ce dernier cas, on peut assimiler un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

Bonjour,

Algébriquement, c'est strictement formel, un polynôme à coefficients dans un anneau commutatif est une suite presque nulle à valeurs dans A.
Avec des opérations + , . (externe sur A) , x (produit)  , o (composition) , D (dérivation)  adéquates assez naturelles ils s'expriment tous comme des sommes  de puissances entières de (1,0,0,...) et (0,1,0,0,...), à coefficients dans A près. Les propriétés permettent des souplesses d'écriture ( on laisse tomber les 0, on peut changer l'ordre des monômes...).
Même si A est un corps, il s'agit d'un anneau ( intègre si A est intègre).
La même approche peut se faire pour les polynômes à plusieurs indéterminées (p), mais il faut prendre des suites presque nulles indexées par $\mathbb{N}^p$
Par exemple le polynôme à p=3 variables ( sur l'anneau $\mathbb {Z}$ par exemple) $2 + 3XZ + XY - 4X²Y + Z^{15}$ n'est pas autre chose que de se donner
$a_{0,0,15} = 1, a_{0,0,0} = 2, a_{1,0,1} = 3, a_{1,1,0} = 1, a_{2,1,0} = -4, $ et 0 pour tous les autres triplets ....
Les opérations permettent aussi de les voir comme des polynômes à 1 indéterminée, mais dont les coefficients sont des polynômes...

A partir d'eux on obtient des fonctions, mais ce sont des objets totalement différents (comparer une suite et une partie d'un produit cartésien, pas vraiment pareil...)
On obtient cependant un isomorphisme la plupart du temps ( par exemple si l'anneau est un corps infini ) qui permet grosso modo de confondre les deux notions.

A quoi servent-ils: déjà à symboliser ce qu'on peut faire sur un élément de l'anneau en n'utilisant que les opérations de l'anneau.
Historiquement la résolution d'équations polynomiales a préoccupé les précurseurs de l'algèbre, débouchant par exemple sur les nombres complexes vu certaines difficultés.

Ensuite dans beaucoup d'autres branches: algèbre linéaire, arithmétique, graphes, jeux, analyse ... ils sont partout.
Certaines propriétés profondes sont indissociables des fonctions (donc de l'analyse et de la topologie ) auxquelles ils donnent naissance.

Bref de bien beaux objets, très utiles, et aux belles propriétés (souvent voisines de l'arithmétique des entiers: factorisations, irréductibilités, diviseurs...).
Le nombre complexe i, si utile justement dans le cadre des polynômes, peut même se définir qu'à partir de polynômes. Amusant non?
Sinon derrière nos représentations habituelles des entiers avec un système de numération dans une base ( dix, deux...) finalement il y a un petit air de déjà vu avec les polynômes,avec une bonne économie de moyens (2 symboles pour les ordinateurs, ce qui ne les empêche pas de faire des prouesses...)

Alain

Bonjour Sherlock,

Déjà, il est important de comprendre qu'un polynôme n'est pas nécessairement défini en [tex]x[/tex].

Par exemple, [tex]5\cos^2{x} - 2\cos{x} -3[/tex] est un polynôme du second degré en [tex]cos{x}[/tex] qui se factorise en [tex](\cos{x} - 1)(5\cos{x} + 3)[/tex]