Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Whouf ! J'essaie dans un premier temps de comprendre visuellement dans GeoGebra en faisant varier le curseur $m$.

En tout cas, je retiens le procédé pour expliquer la signification graphique de translation horizontale d'une fonction de structure $f(x -\alpha)$.

Bonjour,

OK mais dès que vous invoquez les coordonnées d'un point de l'espace affine, vous êtes implicitement déjà sur l'espace vectoriel associé.
Les coordonnées en question ne sont pas une notion intrinsèque, et en plus dépendent conjointement d'un point annexe et d'une base
(repère affine).
Pour les férus de géométrie, une présentation dans le bouquin de Pierre Martin pour introduire la géométrie affine sous des angles variables (équivalents
à quelques deltas près qui sont bien précisés) montre que ce n'est pas une notion indépendante d'une action du groupe vectoriel sur l'ensemble.
Il faut bien dire à moment donné ce qu'est une translation en précisant donc les axiomes (existence, unicité), il est impossible de parler de coordonnées de point avant cette étape cruciale (et que dire des coordonnées d'ailleurs si l'espace vectoriel n'est pas de dimension finie?).
On peut choisir ensuite les notations que l'on préfère.

Alain

Bonjour.

C'est ce que j'écrivais plus haut : «pour en arriver au point où, aujourd'hui, il n'y a plus de mathématiques à l'École. Tout au plus on y trouve de la vulgarisation (mal réalisée) de l'idée que se font les profanes des mathématiques.»

Pour l'être humain lambda, les mathématiques ça se résume (et c'est somme tout bien normal) à une série de formules à connaître ou non selon le degré d'utilité dans le prochain devoir : le périmètre d'un rectangle, l'aire d'un cercle, la conversion des litres en centimètres cubes ; parfois certains se souviennent que $\Delta=\frac{b^2}{-4ac}$ mais ne sauraient pas te dire ce que c'est, à quoi ça correspond ni ce que ça fait là : c'est comme ça "il existe un truc qu'on nomme delta et qui vaut $\frac{b^2}{-4ac}$" et puis c'est tout.

D'un autre côté, j'ai lu il y a quelques années les livres de votre époque (les fameux Lebossé-Hémery, Monge-Guinchan, cours Maillard) et il faut reconnaître qu'au collège (et même un peu au lycée — même si tout était au lycée à cette époque), hormis quelques passages de géométrie, l'accent n'était pas forcément mis sur la compréhension : ça tombait un peu comme un cheveu sur la soupe.
Pour revenir sur l'exemple (à la fois simple et symptomatique) des identités usuelles on avait (et on a encore aujourd'hui) presqu'instantanément $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ tandis qu'à mon époque le développement était complet
\[
\begin{align}
(a+b)^2 & = (a+b)(a+b) & \text{par définition} \\
             & = a(a+b)+b(a+b) & \text{la multiplication est distributive par rapport à l'addition} \\
             & = (a^2+ab)+(ba+b^2) & \text{la multiplication est distributive par rapport à l'addition} \\
             & =a^2+(ab+ba)+b^2 & \text{l'addition est associative} \\
             & =  a^2+(ab+ab)+b^2 & \text{l'addition est commutative} \\
             & =  a^2+2ab+b^2 \\
\end{align}
\]
Le seul moyen de réussir à faire un exercice sur une autre identité usuelle était alors d'avoir une compréhension des objets utilisés ; autrement dit : comprendre la logique qui se cache derrière. C'est sûrement la raison qui a poussé à créer et enseigner les mathématiques modernes (pas si modernes que cela), d'ailleurs.

Edit:

Néanmoins, une fois cet exercice assimilé et compris ; le passage en degré trois se fait aisément et de la même manière en posant $(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2$ : on connait alors déjà le développement de $(a+b)^2$ qu'on remplace, on applique les mêmes raisonnements avec les mêmes commentaires (en tout cas, ceux-ci étaient importants pour mes professeurs qui les demandaient à chaque fois) et roulez jeunesse.

——

J'imagine cependant que la différence entre votre époque et aujourd'hui venait d'une part des professeurs eux-mêmes (qui étaient initialement formés avec des programmes plus ambitieux et cohérents) ainsi que des élèves qui étaient sûrement plus volontaires et moins distraits. Après, peut-on en vouloir aux élèves d'aujourd'hui de se dire que ça ne sert à rien ? Sachant qu'à la grande différence de nos époques, l'ascenseur social n'existe plus et ce n'est pas le fait d'aller à l'école qui les fera sortir de leur misère…

Edit:

Comme tu en parles, je donne mon point de vue d'élève de cette époque. Les barycentres étaient "faciles" à utiliser mais conceptuellement (tangiblement devrais-je plutôt dire) ça nous passait au-dessus. Aussi bien moi que la plupart de mes camarades, nous n'avions réussi à avoir une première compréhension conceptuelle de ceux-ci qu'en première ; bien aidé par la physique.

Aucun réel souci sur le plan théorique, bien entendu. Mais à nouveau, niveau conceptuel, les programmes de quatrième et troisième ont loupé le coche sur certaines notions et les barycentres en faisaient partie.

Bonjour,

Ce débat serait peut-être plus adapté dans le Café Mathématique...
Je vais y réfléchir.

Pour expliciter ma pensée, tu rejoins probablement ce que j'ai voulu dire : pour beaucoup trop, un chapitre de maths se résume à apprendre quelques formules par cœur, et le(s) manuels assimilés à un (ou plusieurs) livre(s) de recettes de cuisine, pardon, de formules...
Ça a toujours eu le don de m'agacer prodigieusement : en amont de la formule de la formule, il y a un raisonnement, qui s'il est compris, peut faciliter l'emploi de la formule, rend capable de la retrouver si besoin est : j'en sais quelque chose...
Je refusais d'apprendre les formules par cœur, mais je les savais par cœur (en 37 ans de carrière, j'ai toujours fait le distinguo entre apprendre et savoir) et les raisonnements y conduisant étaient compris et intégrés (tiens, au passage, Bridgslam, je ne connaissais pas le mot "Intégrande") et savais les reconstruire...
Et cette incompréhension commence tôt : dès la 6e ! Et donc, comment cela pourrait-il s'arranger par la suite ? Même le sens "profond" des opérations telle la division, voire la multiplication passe à cent coudées au-dessus de leur tête.
Combien n'en ai-je pas surpris dans la résolution de ce simple exercice :
Une classe de 27 élèves est partagée en 2 groupes dont l'un comprend 5 élèves de plus que l'autre. Combien d'élèves comprend chaque groupe ?
Réponse classique que je refusais :

au motif que, dans cet exercice, la division était illégale, qu'ils n'avaient pas le droit de la faire, même si le résultat était était exact.
Je me demande d'ailleurs, en écrivant ces lignes, comment procéderait ChatGpt...

Ce qui m'amène à un autre questionnement :
hors emploi (presque) indispensable (cas de la Trigonométrie ou des logs et autres exponentielles), que feraient 60 % des élèves de Tle avec spé maths, sans leur calculatrice ?
Bon, nous en Math Elem, on utilisait un succédané : les Tables de valeurs numériques Laborde que j'ai conservées soigneusement...

Développement de $(a+b)^3$
Il me semble logique de ne pas développer de façon un peu "fantaisiste" :
le premier terme étant $a$, il me semble logique en effet de commencer par $a^3$ et de donner les termes suivants selon les puissances décroissantes de a, qui sont les puissances croissantes de b.
A ne pas le faire, ne risque-t-on pas d'accréditer l'idée chez certains que $a$ et $b$ sont "interchangeables" et donc que $(a-b)^3$ et $(b-a)^3$, c'est "la même chose" ? il en faut déjà tellement peu pour les déstabiliser...

Oui aussi pour la curiosité : c'est l'envie d'en savoir plus d'ouvrir les portes encore fermées.
Je professais, à mon niveau, que faire des maths c'était utiliser de façon intensive les 3 verbes observer, comparer, déduire...
Ainsi devant la recherche d'une factorisation de polynômes, un élève pourrait très bien se dire : 
peut-on diviser des polynômes  ? Si oui, si je connais un des facteurs cherché, pourquoi ne pas utiliser cette division ?... ce qui impliquerait quand même qu'il maîtrise la technique de la division tout court.
là encore des calculatrices maintenant sont en capacité d'effectuer du calcul formel (il me semble avoir lu que la philosophie des programmes actuels est de "libérer" les élèves de ces tâches mécaniques pour les confier aux machines...

Il y aurait encore tant à dire : a-t-on, parmi les penseurs qui président à l'élaboration des programmes, pris conscience que si on ne réagit pas, le niveau global va continuer à descendre ?
Je me demande si le passage des 9 h hebdomadaires de Maths aux 5 h 30 actuels n'a pas été dicté par une volonté d'économie : on ne peut pas faire tenir le contenu de 9 h en 5 h 30, on commence par supprimer des pans de programme et ainsi on peut ne plus attribuer que 5 h 30.
Si devais lister, dans un premier temps, ce qui a disparu des programmes de Collège depuis l'abandon des Maths modernes pour repasser aux Maths "classiques", l'énumération serait looongue...
Borassus, puisque tu as vécu l'épisode des "Maths modernes", te souviens-tu qu'en 4e les élèves avaient au programme les... Barycentres ?

@+

[EDIT]
Je rejoins Bernard-Maths. Cette notation me dérange aussi...
Dans le cas de translation de vecteur $\overrightarrow{V}(a,b,c)$ le translaté de $M (x_M, y_M,z_M)$ étant par définition le point $N(x_N, y_N,z_N)$ tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{V}$, il aisé de déduire que $(x_N-x_M, y_N-y_M,z_N-z_M)=(a,b,c)$
et de là :
$\begin{cases}y_N&=a+x_M\\
y_N&=b+y_M\\
z_N&=c+z_M
\end{cases}$
alors en quoi, la notation nouvelle (pour moi) présentée est-elle un progrès par rapport à ce que j'ai fait ci-dessus ?

Bonjour

@Borassus:

Je ne connais pas en détail votre exercice, mais j'imagine qu'il pouvait par extension déboucher sur de bonnes perspectives, et faire toucher du doigt à votre élève plusieurs notions que l'on retrouve tout le temps en logique, et en analyse:

- condition suffisante: si la fonction dérivable en question est symétrique localement vis à vis d'un point appartenant à une tangente ("point milieu" pivotant le comportement de la fonction au voisinage des deux points de tangence))
- condition encore plus suffisante: la fonction est carrément symétrique globalement par rapport à ce point (qui peut le plus peut le moins): c'est le cas si j'ai bien compris...
- examiner des contre-exemples pour voir que la condition n'est pas nécessaire (fonctions paires avec des tangentes horizontales... ou questions analogues par translations horizontales)
- examiner la possibilité de plusieurs tangentes éventuelles répondant à la question
- etc

En gros c'est ce genre d'approches qu'adoptait mon prof, de façon à ouvrir la voie à des questions multiples gravitant autour d'un thème bien ciblé.
C'est vrai que les notions afférentes ne sont pas toujours acquises ( ni/ou assimilées ) par l'étudiant (vues plus tard dans le programme etc), mais une mini-tempête intellectuelle, quand ce n'est pas une tornade, peut en motiver plus d'un... Et un bon coup de vent dégage souvent les avenues, en balayant du même coup des idées parasites.

Bonne journée

A.

Bonsoir yoshi.

C'est, selon moi, là où les décriées mathématiques modernes avaient vu juste : restreindre, chaque année, l'enseignement à un petit sous-ensemble de notions théoriques (6ème: ensembles, relations applications, entiers… ; 5ème: relations binaires, entiers relatifs, arithmétique… ; 4ème: groupes, nombres décimaux, géométrie affine (qui ne disait pas son nom), …), revues et approfondies à chaque fois, avec pas mal de mise en pratique (longueur d'un segment, aires sur un quadrillage, repérage sur le plan, puissances, …).
Par exemple, les relations n'étaient pas vu mathématiquement en sixième mais plutôt concrétisées avec des relations comme "… joue la scène … de la pièce Roméo et Juliette" ou encore "… est né le même jour de la semaine que …"
Dans le même genre on voyait dès la sixième la commutativité, l'associativité et la distributivité sur de petits ensembles et de petits nombres entiers, ce qui permettait par exemple d'arriver en quatrième et de pouvoir justifier aisément pourquoi les identités usuelles se développent comme ça et pas autrement (à coup de justification de chaque ligne : "…=… parce que la multiplication est distributive sur l'addition" ; "…=… parce que l'addition est associative", etc).

Malheureusement, les concepteurs de ces programmes ont voulu aller trop loin en n'écoutant pas les complaintes des professeurs, parents d'élèves et autres acteurs de la société civile. On s'est donc retrouvé avec des programmes de quatrième et troisième qui devenaient rapidement incompréhensibles pour l'élève moyen (je me souviens avoir eu beaucoup de mal à assimiler la géométrie en quatrième et en troisième : ce n'est qu'en terminale que j'ai pu reprendre mes livres de collège et les apprécier pleinement). Ça s'est retourné contre eux et les mathématiques modernes ont depuis lors disparu ; alors que si l'ambition ne l'avait pas emporté il aurait été possible de remanier, de génération en génération, ce programme pour le rendre plus accessible (en retirant un point compliqué par là mais en le remplaçant par une notion plus simple autre part permettant une meilleure assimilation d'une autre notion…). À la place ; on a fait table rase. C'est dommage.

Bonsoir,

Hé bé, ça vole haut, aujourd'hui...

Bin oui... Et encore, dans une copie du Brevet, je suis tombé sur cet avertissement - honnête, somme toute - :

Fallait-il en rire ou en pleurer ?
Ah, les sacro-saintes formules : Rabelais avait raison qui disait Science sans conscience n'est que ruine de l'âme...
Ou encore, en 4e : la nature de ce quadrilatère est un triangle...

Maintenant, même retraité depuis un temps certain, ça me gêne encore qu'on n'évoque plus les termes de multiplicande et de multiplicateur... Quand bien même la multiplication est commutative et que 21 = 7 x 3 = 3 x 7, si on veut aboutir à 21 est multiple de 3, effectivement l'écriture 21 = 3 x 7 me dérange (moi, personnellement, non, le prof ou ex-prof, si !) à cause des non-dits...
Et je pense encore que les appellations multiplicande & multiplicateur auraient dû être maintenues, dividende et diviseur l'étant. Dans ce cadre, on devrait encore évoquer l'associativité et la commutativité : je le faisais et m'en servais : ça n'avait jamais dérangé personne...

Borassus, fais attention quand même : (je ne sais pas si ce credo est toujours en vigueur aujourd'hui. En principe oui)...
Mais nos IPR savaient nous répéter : on ne doit pas enseigner à un niveau n+1 quand on est est à un niveau n.. Donc, si on ne respectait pas cette consigne, on flirtait avec la faute professionnelle.
Il faut savoir assurer ses arrières, i. e. être capable de justifier - si tu  passes outre - que la notion de niveau n+1, de la façon dont tu l'as introduite, a une place naturelle à un niveau n, mais ne pas l'inclure dans un contrôle noté (je ne range pas - et ne rangeait pas - les Devoirs Maisons notés dans la colonne contrôle noté.
J'étais Borderline, mais sans remords et avec précaution...
Je crois qu'il ne faut pas avoir peur de ces notions n+1 (qui ne sont de ce niveau que parce que virées des programmes dans la dernière ou avant-dernière réforme...).

Je trouve moi aussi qu'on a (ça date pas mal...) une tendance persistante, et donc fâcheuse, dans les programmes qui se se sont succédé à éviter de conserver toute notion qui risque d'être considérée par les élèves comme difficiles à comprendre et à utiliser...

En Math Elem, j'avais 9 h de maths et 5 h 1/2 de Physique-Chimie par semaine, il y avait 39 élèves dans ma classe : aucun n'avait été victime d'une overdose et pourtant les différents volumes couvrant le programme composaient un menu assez copieux...

@+