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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 31-01-2024 19:43:49
Bonsoir,
Une analogie serrée (discrète) de cette définition par le sup portant sur les fonctions étagées positives inférieures est celle de la somme (au sens des familles sommables) d'une famille de réels positifs, au moyen de l'ensemble des sommes finies, et de son sup.
On peut aussi voir la chose comme une limite selon une base de filtre.
C'est la version discrète en quelque sorte de l'intégrale de Lebesgue, on retrouve d'ailleurs comme pour Lebesgue l'équivalence pour une famille non positive (dans le cas général) de sa sommabilité avec la sommabilité des valeurs absolues (ou des modules).
En quelque sorte aussi, la somme vue comme une limite de sommes partielles ( donc au sens des séries habituelles) rejoint la méthode de Riemann, où les sommations s'effectuent dans l'ordre où elles arrivent ( selon des intervalles successifs pour Riemann).
On peut faire plein de parallèles.
A.
- bridgslam
- 31-01-2024 17:41:05
Bonsoir,
Il y a une part de confiance à accorder au départ. La suite du voyage est harmonieux en se fiant aux hypothèses faites...
A.
- matpulvinci
- 31-01-2024 16:54:43
Merci, ça me paraît plus clair. Je cherchais la raison dans la définition quand j’aurais du la chercher, par exemple, dans les démonstrations des propriétés de l’intégrale.
- bridgslam
- 31-01-2024 09:07:13
Bonjour,
Si , si , c'est toujours défini, mais ce qu'on va définir grâce au sup avec cette définition pour des fonctions f non mesurables n'offrira pas de propriétés intéressantes,
comme la linéarité par exemple.
C'est un peu comme si on procédait avec l'intégrale de Riemann ( en procédant par approximations inférieures uniquement par des fonctions en escalier) sur des fonctions absolument quelconques. Le sup existera, mais pour des fonctions trop irrégulières, rien ne dit qu'il coïncidera avec le inf des approximations supérieures.
On aura défini... n'importe quoi, en associant un nombre réel à n'importe quelle fonction, sans propriétés intéressantes par la suite.
Autre image: dans un monde idéal, on pourrait définir les fonctions étagées comme combinaisons linéaires de fonctions indicatrices quelconques (pas nécessairement mesurables, on zappe en gros toute la théorie des boréliens et de la mesure), donc toutes les fonctions d'images finies, procéder ensuite par la définition du sup vis à vis d'une fonction quelconque. Ce sera un chaos abominable, sans moyen de calculer raisonnablement sur les objets introduits, devenus impossibles d'accès, et aux propriétés tordues (penser au paradoxe de Tarski).
On préfère se cantonner à des objets plus "orthodoxes", mesurables, et le pont se fait naturellement côté mesures dans les définitions en considérant les fonctions mesurables (qui en pratique constitue une très grande classe de fonctions) qui donneront des propriétés naturelles pour l'intégrale.
A.
- matpulvinci
- 31-01-2024 07:39:24
Merci pour vos réponses! Je répond encore un peu tard, au cas où j’aurais pu approfondir ma compréhension entre temps.
Il me semble donc que le problème est que la borne supérieure de l’intégrale des fonctions étagées inférieures à [tex]f[/tex] n’est pas forcément définie dans le cas où [tex]f[/tex] n’est pas mesurable. (Même si je ne suis pas en mesure de démontrer ce résultat, ou du moins dans le cas mesurable elle est bien définie.)
Wikipédia apporte une réponse intéressante: «Cependant, afin de satisfaire des propriétés de linéarité et de convergence pour des suites, les fonctions considérées sont limitées aux fonctions mesurables, soit celles pour lesquelles l'image réciproque de tout intervalle soit dans la tribu [tex]\mathcal{A}[/tex].»
- bridgslam
- 28-12-2023 03:26:36
Bonjour,
Si l'approche par approximations avec des fonctions étagées minorantes est naturelle ( un peu comme pour l'intégrale de Riemann avec les fonctions en escaliers), Matpulvinci est peut-être dérouté aussi par la définition qui pose de façon assez brute l'utilisation d'un sup général sans précision d'approximation.
Mais il faut comprendre que si on procédait autrement il surgirait au moins deux autres difficultés :
- quelle suite croissante minorante de fonctions étagées choisir pour prendre le sup des intégrales?
- rien ne dit justement que ces sup seraient indépendants du choix...
En fait on montre par la suite que ce ne sera pas un souci ,
avec le théorème de convergence monotone de Beppo-Levi.
On retombe sur quelque chose de naturel, et il faut donc faire confiance (un peu aveugle) à la définition initiale.
- Glozi
- 28-12-2023 01:06:59
Bonjour,
Etant donnée ta réponse, je préfère reformuler. On construit $\int f$ comme une limite de $\int f_n$ avec des $f_n$ "simples". Cette construction n'a de sens que si les $f_n$ "simples" approximent $f$ en un certain sens. Or, si la fonction $f$ est non mesurable il est parfois impossible de bien l'approximer par des fonctions $f_n$ simples.
Analogie : on sait définir $n^2$ pour chaque entier, mais cela ne permet pas de définir $\pi^2$ car on va avoir du mal à approximer $\pi$ par des entiers. En revanche si on sait définir $r^2$ pour chaque rationnel, alors on va pouvoir définir $\pi^2$ comme $\sup\{r^2 | 0<r<\pi, r\in \mathbb{Q}\}$, on a réussit à définir $\varphi(\pi)$ connaissant $\varphi(r)$ car nos briques élémentaires (les rationnels) approximent bien $\pi$ au sens de $\varphi$ (c'est à dire ici au sens de l'élévation au carré). On voit bien qu'on ne s'est pas amusé à définir $\pi^2 := \sup\{n^2 | n<\pi, n\in \mathbb{N}\}$, ça n'aurait eu aucun intérêt !
C'est la même raison de pourquoi on ne définit pas $\int f(x)dx$ pour une fonction $f$ non mesurable. On ne sait pas approximer $f$ par des fonctions simples dont on sait calculer l'intégrale.
Voir l'ensemble de Vitali pour un exemple d'ensemble non mesurable (la preuve par l'absurde montre que si on définit une mesure de cet objet alors en manipulant l'intégrale avec des propriétés élémentaires on aboutit à une contradiction).
- matpulvinci
- 28-12-2023 00:18:29
Merci pour la réponse! (Et désolé pour la mienne un peu tardive.)
J’avoue avoir du mal à comprendre ce que la mesurabilité change dans ce cas-là. Ce que j’ai compris, c’est que l’intégrale de la fonction reste définissable même si [tex]f[/tex] n’est pas mesurable, mais qu’on ne pourrait pas faire grand chose d’utile avec, ou du moins pas aussi facilement. Peut-être qu’en travaillant plus sur la notion de mesure ça me paraîtra plus clair.
- bridgslam
- 21-12-2023 16:38:06
Oui , nulle sur X ( mesurable par définition puisque dans la tribu), ça marche !
On considère de toutes façons les fonctions définies sur X dans la théorie: bonne piqure de rappel.
A.
- Glozi
- 21-12-2023 15:42:46
Bonjour,
Il y a toujours la fonction nulle qui minore une fonction positive (qu'elle soit mesurable ou non).
En revanche on se restreint aux fonctions mesurables pour que l'intégrale construite ait des propriétés intéressantes (qui doivent ressembler à celle d'une intégrale). La moralité est qu'on sait définir une jolie intégrale pour les fonctions étagées, on veut dire que si on arrive a bien approximer une fonction $f$ par des fonctions étagées, alors on doit arriver à définir l'intégrale de $f$ via les intégrales de fonctions étagées qui convergent vers $f$ et cette intégrale aura toujours des jolies propriétés (il faut faire attention : prendre des fonctions étagées qui convergent en croissant vers $f$ etc...). Le truc c'est que si $f$ est non mesurable on n'a pas forcément moyen de l'approximer par des fonctions étagées, et du coup définir son intégrale par la formule que tu mentionnes nous donnerait pas de bonnes propriétés pour l'intégrale de $f$.
Bonne journée
- matpulvinci
- 21-12-2023 15:12:39
Bonjour,
L’article sur la construction de l’intégrale de Lebesgue dit que cette dernière est définie pour toute fonction mesurable positive f.
Pourquoi f doit-elle être mesurable? Après tout, son intégrale est calculée uniquement à partir de la borne supérieure de l’intégrale des fonctions étagées inférieures à f qui sont, par définition, mesurables.
Est-ce que f doit être mesurable pour que cette borne supérieure existe? Si oui, en quoi la mesurabilité garantit ça?
Merci!