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Bonjour,

La suggestion de Fred à partir des fermés est générale, valable même sans métrique ( dans un espace topologique ).

Une alternative plus spécifique aux espaces métriques consiste à écrire qu'un point x de X est dans l'adhérence de A relativement à Y ssi
x appartient à Y et que toute boule ouverte (avec la distance $d_Y$  induite ) de centre x rencontre A.
Vous devez montrer par vous-même que cela revient exactement à la propriété, comme $d$ et $d_Y$ coïncident sur Y.

A.

Bonjour,

  J'écris l'énoncé ici en LaTeX pour plus de lisibilité : soit $(X,d)$ un espace métrique et $Y$ une partie de $X$. Pour $A\subset Y,$ on note $\bar A$ l'adhérence de $A$ dans $X$ et $\overline{A_Y}$ l'adhérence de $A$ dans $Y$. Démontrer que $\overline{A_Y}=\bar A\cap X.$

Pour répondre à cet exercice, on peut procéder par double inclusion. Pour une des deux inclusions, voici 3 questions de cours :
* quelle est la définition de $ \bar A$?
* quelle est la définition de $\overline{A_Y}$?
* quels sont les fermés de $Y$?
En répondant à ces 3 questions, une des deux inclusions devrait être immédiate.

Pour l'autre inclusion, on peut utiliser la proposition suivante :
Une partie $F\subset Y$ est un fermé (relatif) de $Y$ si et seulement si, pour tout suite $(x_n)$ de $F$ qui converge vers $x\in Y$, alors $x\in Y$.

A te lire,
F.