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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Antooo
- 13-12-2023 14:44:29
Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses, contre exemples et précisions.
Je me permet de compléter mon interrogation.
On fixe un ouvert U borné dans IR et on se donne une fonction uniformément continue sur U telle que sup f < infini sur U.
On se donne une suite d'ouvert Vk (on peut les supposer convexes si cela nous arrange) telle que Vk converge vers V (un autre ouvert) au sens suivant :
pour tout r>0, il existe un rang a partir tous les Vk sont inclus dans le r-voisinage de V et réciproquement i.e. V(r) contient Vk et Vk(r) contient V.
Sous ces hypothèses, je pense qu'on peut dire que :
sup_Vk f converge vers sup_V f.
Cordialement,
Anthony
P.S. : si l'hypothèse f uniformément continue ne suffit tjr pas, on peut prendre f une fraction rationnelle.
- bridgslam
- 12-12-2023 12:43:59
Bonjour,
En prenant d=1, $f$ la fonction nulle , $U=]-3;3[ $ , $V_n = \mathbb{Q} \cap ] \sqrt{2}-1/2^n, \sqrt{2} + 1/2^n[ $ tend vers $V = \emptyset$.
$sup f(V) = -\infty$ tandis que $sup f(V_k) = 0$.
Même idée d'ailleurs avec $U =]-1,1[$ et $W_n = ]0, 1/n[ $
A.
- bridgslam
- 12-12-2023 11:52:14
Bonjour,
On a des valeurs de sup égales à $\pi$ (constant) pour les uns, $0$ pour l'autre ?
A.
- Michel Coste
- 12-12-2023 09:07:24
Bonjour,
La distance de Hausdorff n'est pas une métrique sur l'ensemble de ouverts de $U$.
Par ailleurs, prenons pour $U$ le disque unité de $\mathbb C$ privé du demi-axe des réels $\leq0$, et soit $f$ la détermination principale de l'argument. Soit $V$ le demi-disque ouvert des $z$ de $U$ de partie imaginaire $<0$ et prenons pour $V_k$ la réunion de $V$ et du demi-disque ouvert des $z$ de partie imaginaire $>0$ tels que $|z+1/2|<2^{-k}$ pour $k>0$. Que se passe-t-il à ton avis ?
- bridgslam
- 12-12-2023 08:58:13
Bonjour,
La convergence d'une suite de parties vers une autre est une notion purement ensembliste, sans rapport avec une quelconque topologie et la distance entre parties n'est pas une distance
( Par exemple d(A,B)=0 n'implique pas A=B).
Sauf erreur les notions sont complètement indépendantes.
Comment exprimez-vous par exemple que $ (O_n)$ converge vers $O$ ?
A.
- Antoooo
- 12-12-2023 02:57:33
Bonjour,
J'ai une petite question que je me pose...
On se place sur IR^d et on fixe un ouvert borné U et une fonction continue f de U dans IR.
On suppose que le sup de f sur U est fini.
Est-ce que la propriété suivante est vraie : si V_k est une suite d'ouvert dans U tq V_k converge vers un ouvert V (au sens de la distance de Hausdorff par exemple) alors le sup de f sur V_k tend vers le sup de f sur V ?
Cordialement,
Anthony