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bridgslam
21-12-2023 11:16:13

Bonjour,

Avec plaisir.
C'est l'erreur que je vous mentionnais.

Bonne journée
A.

Aannttooiinnee
20-12-2023 22:31:46

Oh oui d'accord, je vois l'idée, Malin !
Effectivement mon erreur vient de mon nombre de possibilités pour 101 où il y a 99 possibilités pas 98...
Merci bien d'avoir pris le temps de répondre.

bridgslam
20-12-2023 13:50:49

Bonjour,

L'intérêt de la question est justement de ne pas partir de la valeur moyenne (qui est de toute façon fixée par les deux autres) , pour ne pas se tromper.
Vous compterez une fois et une seule les trios différents de nombres possibles en regardant toutes les paires d'entiers distinctes,
dont la parité est identique.
Ca fera toujours  9900, nombre de façons de prendre des paires de pairs + nombre de façons de paires d'impairs.

Votre erreur je crois : pour 101 -> 99 possibilités, 102 -> 98 etc vous êtes décalé de 1  à chaque fois...
Il vaut mieux compter comme ce que je propose, plus global.

Bonne journée
A.

Aannttooiinnee
20-12-2023 12:31:29

Je ne comprends pas comment arriver à 9900, j'arrive à 9801 :
1 ne peut pas être moyenne
2 ne peut être moyenne que de {1,2,3} soit 1 possibilité
3 ne peut être moyenne que de {1,3,5} et {2,3,4} soit 2 possibilités
...
99 peut être moyenne de 98 ensembles différents

Ensuite pour 100, il y a 99 possibilités.

Puis :
101 : 98 possibilités
102 : 97 possibilités
...
201 : 1 possibilité
200 : 0 possibilité

En sommant tout ça on arrive à 2 fois la somme des entiers de 1 à 98 soit 9702 plus les 99 possibilités liées à 100 soit un total de 9801 possibilités.
Je pense que 99 a été compté deux fois au lieu d'une dans le résultat 9900 !

bridgslam
11-12-2023 14:48:14

Bonjour,

Pour varier les plaisirs: déterminer le nombre de choix de 3 entiers distincts parmi {1,2,....100} afin que l'un soit la moyenne géométrique des deux autres.

Un peu plus pénible qu'avec la moyenne arithmétique, car il faut lister les paires dont le produit est un carré parfait.

▼ une méthode pour éviter les omissions

Après avoir déterminer tout d'abord les paires de carrés étrangers parmi {1,4,9,16,25,...100} (sauf erreur il y en a 31}
on multiplie chaque paire par tous les entiers possibles tout en restant inférieur à 100.
On obtient ainsi  toutes les paires d'entiers distincts au plus égaux à 100, dont le produit est carré parfait ( CNS pour pouvoir obtenir en entier leur moyenne)

Par exemple la paire (4,25) (choix (4,10,25) )  produit aussi  (8,50) (choix (8,20,50) ), puis (12,75),(16,100), tandis que (9,16) donne (18,32), (27, 48), (36,64),(45,80), (54, 96).
Rien de sorcier, juste un moyen (sans doute Python peut-il  venir à la rescousse...) de tous les lister avec méthode.
En piochant un exemple au pif (12,75) donnera par exemple le choix (12,30,75) puisque 30 est la moyenne géométrique de 12 et 75.
On obtient ainsi au  total le dénombrement souhaité (106 "à la paluche" sauf erreur)

Bonne après-midi.

A.

bridgslam
11-12-2023 10:45:15

Bonjour,

@Bernard : de rien pas de souci, tu sembles t'être compliqué la vie.

Bonne journée
A.

Bernard-maths
11-12-2023 08:52:35

Bonjour à tous !

Merci Alain ! Je me suis embrouillé avec des couples ... alors que j'avais bien commencé, mais y'a eu un ïatus !

Bonne journée, B-m

bridgslam
10-12-2023 23:10:46

Bonjour,

@Bernard: il n'y a aucune ambiguïté dans mon énoncé, si c'est ce que tu sous-entends.

La démarche proposée fournit exactement les sous-ensembles de 3 nombres distincts dont l'un est moyenne des autres.

J'avais juste hésité à préciser moyenne arithmétique ou pas.

On peut corser aussi avec:
- moyenne géométrique
- moyenne harmonique
- des panachés des 3 types ...
- moyennes de + de deux nombres... Etc

Bonne nuit
A.

Bernard-maths
10-12-2023 20:57:41

Bonsoir, bonsoir !

Je viens de lire le corrigé d'Alain, et je parlais d'ambiguïté de l'énoncé ...

Il est dit ... "afin que l'un des trois soit la moyenne des deux autres" ...

Exemple :je tire 50, puis 73. Alors pour le 3ème j'ai le choix : 2*73 = 50 + 96, ou bien 2 * 50 = 73 + 27, ou bien c'est tout ici !
Pour 50 72 il y aurait 3 cas pour le 3èmes !

Alors je dis pour le 1er 200, pour le 2ème 199, et pour le 3ème 1, 2 ou 3 cas ... Mais on risque de compter plusieurs fois les mêmes 3 nombres, et en plus il y a des effets de "bouts", vers 1 et 2 ou 200 et 199 ...?

J'ai calé, je vous laisse cogiter !!!

Cordialement, Bernard-maths.

Dalal
10-12-2023 20:23:59

Re,
Je vous propose d'augmenter la difficultés de la devinette :
De combien de manières peut-on choisir 3 entiers distincts parmi 1,2,..., 201 afin que l'un des trois soit la moyenne des deux autres ?

Bonne soirée.

Zebulor
10-12-2023 18:48:56

bonsoir,
j'étais parti sur ton raisonnement ...

bridgslam
10-12-2023 18:47:22

Bonsoir,

▼pas obligé

Désolé d'avoir troublé le repos dominical...
C'est déjà bien d'avoir regardé.

La question revenant à choisir deux nombres distincts  dans [1;200] dont la moyenne donne le troisième (pas le choix pour la moyenne),
il faut et il suffit de calculer le nombre de paires {x,y} ( x non égal à y) qui soient de même parité.
Il y en a 100 d'impairs, 100 de pairs, donc la quantité cherchée est $2\binom {100}{2}$

Bon redémarrage lundi
Alain

Zebulor
10-12-2023 17:29:39

Bonjour,

▼proposition

En moins de 10 secondes un dimanche jour de repos ,? Trop dur pour moi.. mais merci tout de même pour la devinette :-)

Bonne journée.

bridgslam
10-12-2023 12:19:38

Bonjour,

Eh oui, bien joué.

Bon dimanche
Alain

Dalal
10-12-2023 11:45:39

Bonjour,

▼proposition

Je dirais 9900

Bonne journée.

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