Forum de mathématiques - Bibm@th.net

oui en effet, merci, j'ai recouvré mes esprits....j'ai mélangé mes questions sur les normes.

Toutefois, dans cette vidéo preuve théorème de Riesz il est dit que la norme est continue sur un espace de dimension infinie. Je ne trouve pas de preuve.

Non, ton $M$ dépend de $J$ et donc de $x$, alors qu'on veut une constante de Lipschitz indépendante du point considéré.
Rappel : $f : (E,N_1)\to (F,N_2)$ est Lipschitzienne entre ces deux espaces normés s'il existe une constante $M>0$ telle que pour tout $x,y\in E$, $N_2(f(x)-f(y))\leq M.N_1(x-y)$

Ici $f=N$ avec $f : (E,N)\to (\mathbb{R},|\cdot|)$. On écrit alors $|f(x)-f(y)|=|N(x)-N(y)|\leq \dots$ (utiliser l'inégalité triangulaire).

MikeB, dans les preuves du théorème de Bolzano Weierestrass on utilise la plupart du temps la propriété de la borne supérieure (par exemple utilisée sous la forme du théorème des suites adjacentes). Cette propriété de la borne supérieure implique la complétude de $\mathbb{R}$.
Pour ta question : si $N$ une norme sur $E$, je dirais que $N : (E,N)\to (\mathbb{R},|\cdot|)$ est Lipschitzienne donc continue...

Lilou0008, je ne comprends pas ta question ? Mais surement quelqu'un aura une idée.

Bonne journée

Merci pour vos messages.

Pour Michel, le lien fourni par Glozi est  correct.

Pour Glozi, j'ai lu que le théorème de Bolzano-Weierstrass est équivalent à [tex]\mathbb{R}[/tex] est complet sans aucun lien vers des preuves et cela dépasse mes connaissances.
En dimension infinie le théorème de Riesz   montre que les normes ne sont pas toutes équivalente, ok !
Avec l'exemple illustrant la non équivalence ok.

Ma question demeure , indépendamment de l'application norme est-elle continue de [tex](E,\Vert \cdot\Vert)[/tex] vers [tex](\mathbb{R},\vert \cdot\vert)[/tex] ?

Pour Fred, je m'en suis rendu compte après avoir posté ... et cela me convient tout à fait !

Cordialement.

Mike

Bonjour,
J'imagine que tu parles de cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=VKVs9wM0tEs
Dans l'étape 1 on fait appel au théorème de Bolzano Weierstrass qui repose sur le fait que le corps de base (ici $\mathbb{R}$ est complet).
Si $E$ est de dimension infinie et qu'on a l'axiome du choix, on peut effectivement prendre $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$, et poser $\Vert \sum_{i\in I}x_i e_i \Vert_1 := \sum_{i\in I}|x_i|$. Cette norme est bien définie car toutes les sommes considérées sont en fait finies. En revanche la sphère unité $\{x\in E, \Vert x\Vert_1=1\}$ n'est pas compacte pour $\Vert\cdot\Vert_1$ (c'est le théorème de Riesz) la suite de la preuve de la vidéo échoue donc dans ce cas.

Pour ta première question un grand classique est le suivant : prendre $E=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\ |\ a,b\in \mathbb{Q}\}$.
1) Montrer que $E$ est un $\mathbb{Q}$ espace vectoriel de dimension $2$.
2) On pose $N_1(a+b\sqrt{2})=|a+b\sqrt{2}|$ et $N_2(a+b\sqrt{2}) = |a|+|b|$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ définissent bien deux normes sur $E$.
3) Montrer que $N_1$ n'est pas équivalente à $N_2$.
4) Conclusion?

Bonne journée

Bonjour,

Sur un cours de Costantini sur les evn, sur le site bacamaths.net aujourd'hui disparu, on lisait :

La propriété est fausse si le corps de base n'est pas complet, ce qui n'est pas précisé dans la vidéo de la preuve sur bibmaths.
De plus, je ne vois pas où la complétude serait utilisée. Quelqu'un pourrait m'en dire plus ?

Ensuite, la preuve utilise un lemme :
En dimension finie, une norme  [tex]N[/tex] est une application continue de [tex](E,||\cdot||_\infty)[/tex] sur [tex](\mathbb{R},|\cdot|)[/tex].
La preuve se faisant en utilisant une base de [tex]E[/tex]   puis, à l'aide de l'inégalité triangulaire on montre que [tex]N[/tex] est lipschitzienne.

Ne peut-on pas faire le même raisonnement en dimension infinie ,puisqu'il existe  des bases de E d'après l'axiome du choix ?
Et donc affirmer  la norme est continue quelque soit la dimension ?

Cordialement.