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Ce serait bien que le développement du binôme, avec [tex]n[/tex] entier, soit systématiquement écrit dans l'ordre correct, à savoir par puissances de [tex]a[/tex] décroissantes :
[tex](a + b)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{n - k}a^{n-k}b^k[/tex].

Cette écriture est en effet cohérente
- avec les formules habituelles [tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex] et [tex](a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
(je vois souvent la formule donnée selon les puissances croissantes de [tex]a[/tex] et les exemples habituels écrits tout de suite après selon les puissances décroissantes de [tex]a[/tex] !) ;
- avec la loi binomiale ;
- avec la formule multinomiale — "multi" commence à deux... —, chaque coefficient comptant explicitement le nombre de fois où le terme [tex]a[/tex] apparaît dans un produit (et donc, implicitement, combien de fois apparaît le terme [tex]b[/tex]) ;
- avec la formule du binôme généralisée (voir le développement dans mon précédent post si [tex]\alpha[/tex] est un entier naturel).

Bonjour,

Merci de cette réponse, Roro.

Je crois que je commence à comprendre :

Ma question vient d'une certaine confusion entre la formule du binôme combinatoire classique [tex](a + b)^n[/tex], avec [tex]n[/tex] entier naturel et la formule du binôme généralisée conçue par Newton
[tex](a + bx)^\alpha = a^\alpha(1 + \frac{b}{a}x)^\alpha = a^\alpha \left[ 1 + \alpha\frac{b}{a}x + \frac{1}{2!}\alpha(\alpha - 1) \left(\frac{b}{a}x\right)^2 + \frac{1}{3!}\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2) \left(\frac{b}{a}x\right)^3 + ... \right][/tex]
formule dans laquelle [tex]\alpha[/tex] est un nombre rationnel.

Si [tex]a = b = 1[/tex], le développement s'écrit
[tex](1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{1}{2!}\alpha(\alpha - 1)x^2 + \frac{1}{3!}\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)x^3 + ...[/tex]

Si [tex]\alpha[/tex] est un entier naturel [tex]n[/tex], et si [tex]x = 1[/tex], le développement s'écrit (en réintégrant [tex]a^n[/tex] dans les crochets)
[tex](a + b)^n = a^n + na^{n -1}b + \frac{1}{2!}n(n - 1)a^{n - 2}b^2 + \frac{1}{3!}n(n - 1)(n - 2)a^{n - 3}b^3 + ... + b^n[/tex]

Or, [tex]1 = \binom{n}{0}[/tex], [tex]n = \binom{n}{k}[/tex], [tex]\frac{1}{2!}n(n - 1) = \binom{n}{2}[/tex], [tex]\frac{1}{3!}n(n - 1)(n - 2) = \binom{n}{3}[/tex], etc.

On retrouve donc la formule classique
[tex](a + b)^n = \binom{n}{0}a^nb^0 + \binom{n}{1}a^{n - 1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n - 2}b^2 + \binom{n}{3}a^{n - 3}b^3 + ... \binom{n}{n}a^{n - n}b^n[/tex]

En réalité, le fait de retrouver le développement classique de [tex](a + b)^n[/tex] en partant de la formule généralisée est tout à fait logique !
En effet, Newton est précisément parti de l'expression [tex]\binom{n}{k} = \frac{1}{k!}n(n - 1)(n - 2)...\left(n - (k - 1)\right)[/tex] (formule dite de Pascal) et a remplacé [tex]n[/tex] par [tex]\frac{1}{2}[/tex], ce qui lui a fourni les coefficients [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]-\frac{1}{8}[/tex], [tex]\frac{1}{16}[/tex], etc.

Puis, il a généralisé sa démarche pour un nombre rationnel quelconque.

Donc, historiquement, LES formules du binôme de Newton proviennent de sa formule généralisée.
Les développements [tex](a + b)^n[/tex], [tex](1 + x)^n[/tex] et [tex](1 + x)^r[/tex] (avec [tex]r[/tex] rationnel) ne sont que des cas particuliers de celle-ci.

Je réitère ma maxime préférée que j'avais effacée dans ma discussion concernant le nombre [tex]e[/tex] : « L'incompréhension, à condition qu'elle soit dérangeante, est la clé de la compréhension. »

Comme pour la compréhension de la démarche d'Euler pour déterminer son célèbre nombre [tex]e[/tex], j'ai pu comprendre ce que je viens d'écrire dans ce post grâce à l'ouvrage de Michel Simon « Mathématiques à travers les siècles (Tome II) », aux éditions Calvage & Mounet, dont j'ai repris la notation de la formule du binôme généralisée.
Merci à lui !

Bonsoir,

Je ne connais pas exactement l'histoire de ce binôme (même si il y a probablement un lien avec Blaise Pascal et son triangle), il me parait clair que si quelqu'un a écrit le développement de $(a+b)^n$ alors il l'a aussi obtenu pour $(1+x)^n$...

Roro.