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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Lars
- 03-11-2023 15:42:53
Bonjour,
''le message précédent'' (qui est donc désormais l'avant dernier) dans son second paragraphe, évoque des intégrales, avec pour point clé, l'intégration d'une relation de comparaison entre une fonction et sa dérivée ($f=o(f') $).
- debutan
- 03-11-2023 15:09:27
Bonjour,
Commencez par quelques inégalités innocentes u((n+1)plus petit que S(n+1) plus petit que u(n+1)+nu(n), cherchez un équivalent simple de u(n+1)/u(n) et conclure pour ab>1
Ben tu te places dans le cas où ab>1
- Lars
- 03-11-2023 13:11:05
Bonjour,
Voir ma réponse précédente qui ne spécifie aucune condition sur a, b.
- debutan
- 03-11-2023 08:04:32
Lars comment faire dans le cas où $0<ab\leq 1$ than you
- Zebulor
- 02-11-2023 22:28:29
Bonsoir,
je n'ai pas regardé de près mais l'approche de Lars semble prometteuse..
- Lars
- 02-11-2023 22:17:22
Bonsoir,
Tjrs pour ab>1, ça vous donne Sn-un =S(n-1)~u(n-1) et vous avez donc votre développement à l'ordre 2. Et ainsi de suite.
Une fois que vous avez compris que le dernier est prépondérant, vous pouvez suivre les indications précédentes avec les intégrales. Voué que j'ai pas regardé, mais ceux qui ont répondu ont d^u regarder.
Le terme général s'écrit f(n), f croissante, et vérifiez que f'/f tend vers l'infini(équivalent à ab ln(x) (à vérifier). Dit autrement f est négligeable devant f' au voisinage de l'infini, d'où d'après un théorème d'Integration d'équivalent, et car f est positive, je passe les détails, l'intégrale de n0 à n-1 de f est négligeable devant l'intégrale de n0 à n-1 de f' lorsquz n tend vers l'infini, qui est équivalent a f(n-1) et en bricolant les inégalités vous obtenez que S(n-1) (que vous avez préalablement majoré par une intégrale de f) est negligeable devant f(n)=u(n) ie que S(n) est equivalent à u(n).
- debutan
- 02-11-2023 21:17:18
C’est pour ab>1.
Et que faire si $0<ab\leq 1$
- debutan
- 02-11-2023 21:15:25
Lars avec ta démarche je trouve S(n+1) est équivalent à u(n+1)
- Lars
- 01-11-2023 15:34:35
Bonjour,
Commencez par quelques inégalités innocentes u((n+1)plus petit que S(n+1) plus petit que u(n+1)+nu(n), cherchez un équivalent simple de u(n+1)/u(n) et conclure pour ab>1
- Zebulor
- 28-10-2023 08:25:21
Bonjour,
tu peux aussi comparer $S(n)$ et $S(n-1)$ et en déduire une inégalité pour $S(n)$.. Tu peux aussi pythonner.
A partir de ton $J(n)=\int_{1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$ on pourrait peut être en faire une approximation pour $n$ assez grand du style $\int_{n-1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$, en considérant le logarithme est quasi constant sur l'intervalle $[n-1;n]$ et vaut $ln(bn)$..Dès lors tu peux faire une évaluation de cette intégrale et tu devrais retomber sur tes pattes. A voir car il est tard et je crains ne plus être lucide...
Non, c'est faux.
Je suis un peu surpris de cette approche, du coup ça donne $S(n)=(bn)^{abn} +o( (bn)^{abn} )$
Je me surprends moi même, mais les quelques tests avec des valeurs de $a$, $b$ et $n$ que j'ai faits tendent à la valider..
- Zebulor
- 27-10-2023 22:28:01
Re,
Le quotient de #9 est équivalent à $e^{-ab}n^{ab}$
donc $ (b(n-1))^{ab(n-1)}$ est un petit o de $ (bn)^{abn}) $
Ca serait pas $(ben)^{ab}$ ? (Attention j ai fait le Quotient du dernier terme de la somme S(n) par le précédent).mais ça ne change rien à la conclusion
- debutan
- 27-10-2023 22:18:32
Zebulon je te remercie pour avoir pris le temps de me guider sur cet équivalent.
Je reprendrai J(n) pour voir si j’arrive au même équivalent.
- Zebulor
- 27-10-2023 21:30:25
re,
A partir de ton $J(n)=\int_{1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$ on pourrait peut être en faire une approximation pour $n$ assez grand du style $\int_{n-1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$, en considérant le logarithme est quasi constant sur l'intervalle $[n-1;n]$ et vaut $ln(bn)$..Dès lors tu peux faire une évaluation de cette intégrale et tu devrais retomber sur tes pattes. A voir car il est tard et je crains ne plus être lucide...
Sur ton post 11 oui c'est correct et tu peux tout simplement écrire qu'un équivalent de $S(n)$ est le premier terme du membre de droite de l'égalité que tu as écrite.
- debutan
- 27-10-2023 21:21:18
Peux-tu me dire si le DA de #11 est correct?merci
- Zebulor
- 27-10-2023 21:08:30
Il y a en effet une exponentielle mais il doit manquer quelque chose dans ton calcul ... quoi qu'il en soit le dernier terme de la suite mange son précédent.
Peut être que sur ce site d'autres ont une approche différente de la mienne... En général dès que ça devient trop calculatoire avec une intégrale comme celle que tu avais c'est que l'approche est mauvaise