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Bonjour,

C'était aussi celle que je connaissais, mais dans l'exercice ce n'était pas le cas du tout, on n'identifie pas les points de E à des coupures, d'où le vocabulaire d'"amalgame".

Il y a une incohérence je pense quelque part en suivant strictement les hypothèses de départ.
Cela semble ok par contre en rajoutant E dense dans E, et la version (A,B) des coupures où A est sans plus grand élément et B sans plus petit élément:

Si x < y éléments de E , il existe z dans E : x < z < y
Si x < (A,B)  , x est dans A , et l'ordre étant total il existe y dans A , y > x, donc x < y < (A,B)
Si (A,B) < x  idem de façon symétrique
Si (A,B) < (C,D) il existe un x dans C non dans A, donc dans B , d'où (A,B) < x < (C,D).

Ces conditions plus restrictives me semblent aussi nécessaires, sauf erreur.

A.

Bonjour,

Je suis tombé sur un exo qui définit ainsi les coupures sur un ensemble tot. ordonné E:
(A,B)  est une coupure ssi {A,B} est une partition de E et tout élément de A est inférieur à tout élément de B.
On a un ordre total selon l'inclusion entre A et A' ( parties inférieures de deux coupures), vide éventuellement s'il n'y a pas de coupures.
Ceci se fait facilement.
On définit par la suite l'amalgame  comme la réunion de E et de ses coupures et on prolonge les ordres en disant que x dans E est inférieur à (A,  B) si x appartient à A, supérieur sinon.
Ok pour obtenir ainsi un ordre total sur l'amalgame.

On demande ensuite de montrer que E est dense dans l'amalgame.
Et c'est là que je ne suis pas d'accord, sans hypothèses supplémentaires.
Ok pour dire que E est dense au sein des coupures.
Par contre je vois mal comment affirmer que E est dense dans tout l'amalgame.
A mon sens il faudrait déjà que E soit dense dans lui-même, et aussi que la partie gauche des coupures n'ait pas de plus grand élément, donc modifier leur définition.
Bref, ou je ne capte pas quelque chose, ou l'énoncé est faux
(ou inclusif...).

A.