Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je serai plus rigoureux la prochaine fois et j'arrêterai de ne pas prendre en considération les petit o haha

Bonsoir,
Tu dis $\frac{1}{x+1}\sim_{x\to \infty}\frac{1}{x}$ cela se réécrit de manière équivalente $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$.
Ensuite tu dis $\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (en corrigeant l'erreur du signe $-$ dans le DL de $\ln$).
Ensuite tu dis qu'on soustrait les deux DL :
cela donne :
$\frac{1}{x+1}-\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}) -\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}-o(\frac{1}{x^2}) = o(\frac{1}{x})$.
En effet, les termes $\frac{1}{2x^2}$ et $o(\frac{1}{x^2})$ sont "mangés" par le $o(\frac{1}{x})$.
Finalement, en multipliant par $x^2$ tu trouves $x^2f(x)=o(x)$ ce qui n'est pas assez précis pour conclure à une éventuelle limite.
Bilan : quand on somme un DL à l'ordre 1 et un DL à l'ordre 2 on obtient un DL à l'ordre 1...

Si tu remplaces $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$ par $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (un DL à l'ordre 2) alors tu vas trouver quelque chose de plus concluant.

De manière générale : soit on travaille avec les équivalents (mais on fait attention à ne pas sommer (n'importe comment...) des équivalents) soit on travaille avec des DL (on peut toujours les sommer mais le moins précis va toujours ruiner la précision des autres). On évite un mélange des deux.

Bonne soirée

Re,
Merci beaucoup pour vos réponse, en effet dsl j'ai fait une erreur en recopiant le DL de ln(1+1/x) (c'est (1/x)-(1/(2x^2)) plus le petit o ) mais ça me donne quand même 1/2. En faisant un DL d'ordre 3 sur (x^2)/(1+x)=x/(1+1/x) on trouve x(1-1/x+1/x^2-1/x^3 plus le petit o) et alors en soustrayant à lui le DL du logarithme multiplié par x^2 on trouve -1/2 comme limite. Mais je ne comprends pas pourquoi en donnant comme équivalant 1/(1+x)=1/x en plus l'infini on trouve 1/2 qui est donc le "bon" résultat mais du mauvais signe :/ ?

OK.
Mauvaise recopie.
La ligne suivante aurait du être :  = lim(X--> 0) [1/(X.(X + 1)) - 1/X² * ln(1 + X)]
Chemin peut être un peu long ... mais qui conduit à la bonne réponse.

Black Jack, ne te crois pas obligé de faire complètement l'exercice (avec en plus une erreur à la ligne 3 :
lim(X--> 0) [1/X² *  (1 + 1/X)) - X² * ln(1 + X)]
Et il vaut mieux faire le d.l. de $f(x)$ en $+\infty$ à l'ordre convenable, sans traîner le $x^2$. Faire un d.l. d'ordre 2 de $x^2f(x)$ est du travail complètement inutile puisqu'on cherche la limite de $x^2f(x)$.

Re,
en effet .. notre Dos335 m'a fait écrire une imprécision. Alors je précise ma pensée : le DL à l'ordre 2 en l'infini dont il est question n'est PAS celui ci  :  ln$(1+\dfrac {1}{x})=\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{2x^2}+o(\dfrac{1}{x^2})$ mais celui là : ln$(1+\dfrac {1}{x})=\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{2x^2}+o(\dfrac{1}{x^2})$

Re,
@Black Jack : là tu as trouvé -1/2 par hasard au gré des erreurs qui se compensent parce qu'il y a un problème de signe :

Comme je préfère les DL j'écrirais plutôt quelque chose comme ln$(1+\dfrac {1}{x})=\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{2x^2}+o(\dfrac{1}{x^2})$ comme DL d'ordre 2 en l'infini.

Donc c'est bien "l'équivalent" de la fraction du post 2 qui n'est pas assez "poussé"...