Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Rebonjour,

On peut aussi faire ainsi : (Cela revient au même mais on traîne des complexes en court de calculs)

$\displaystyle e^{2t}. cos(t) = e^{2t} \frac{e^{i.t} + e^{-i.t}}{2}$

$\displaystyle e^{2t}. cos(t) = \frac{e^{(2+i).t} + e^{(2-i).t}}{2}$

On cherche une solution particulière pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x =  \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

et une particulière pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x = \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

a) pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x  = \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

Une solution particulière est de la forme $x = A . \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

x' = ...
x'' = ...

$\displaystyle \frac{e^{(2+i).t}}{2} = ...$
Et en identifiant le second membre avec $\displaystyle \frac{e^{(2+i).t}}{2}$, on trouve $A = -\frac{1}{4.(4+3i)}$

b) a) pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x  = \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

Une solution particulière est de la forme $\displaystyle x = B . \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

... et de manière analogue à ci-dessus, on trouve $\displaystyle B = -\frac{1}{4.(4-3i)}$

Une solution particulière de  $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x = e^{2t}.cos(x)$ est donc :

$\displaystyle y = -\frac{1}{4.(4+3i)} . \frac{e^{(2+i).t}}{2} - \frac{1}{4.(4-3i)} . \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

Et en triturant un peu la ligne ci-dessus, on arrive à :

$\displaystyle y = -\frac{e^{2t}}{100}.[8.\frac{e^{i.t}+e^{-it}}{2} + 6.\frac{e^{i.t} - e^{-it}}{2i}] $

$\displaystyle y = -\frac{e^{2t}}{100}.(8.cos(t) + 6.sin(t))$

$\displaystyle y = e^{2t}.(-0,08.cos(t) - 0,06.sin(t))$

Bonjour,

Je dois trouver une solution à l'équation différentielle :

[tex]
x''(t) - 10x'(t) + 9x(t) = e^{2t}\cos(t)
[/tex]

Le soucis étant le 2nd membre.

En me plongeant dans mes vieux cahiers de prépa j'ai retrouvé un exercice similaire :

[tex]
y''(x) - 2y'(x) + 2y(x) = 2e^x\sin(x)
[/tex]

Pour la résoudre on avait réécrit le second membre en utilisant la formule d'Euler :

[tex]
-i e^{(1+i)x} + i e^{(1-i)x}
[/tex]

En utilisant le principe de superposition on à chercher une solution sous la forme :

[tex]
y_p(x) = \alpha e^{(1+i)x}
[/tex]

On obtiens alors un système qui nous dit que :

[tex]0 = -i[/tex]

On passe donc à une solution du type :

[tex]y_p(x) = (\alpha x + \beta) e^{(1+i)x}[/tex]

Finalement on identifie :

[tex]\alpha = -\frac{1}{2}[/tex]

Et donc on obtient :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x + \beta\right) e^{(1+i)x}[/tex]

"Comme on cherche une solution particulière on fixe :

[tex]\beta = 0[/tex]"

En physique ça poserait pas un problème ?

On obtient comme solution particulière :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x\right) e^{(1+i)x}[/tex]

On a alors la solution conjugué :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x\right) e^{(1-i)x}[/tex]

Et la solution particulière :

[tex]y_p(x) = -x \cos(x) e^x[/tex]

Pour en revenir à mon cas présent :

[tex]
x''(t) - 10x'(t) + 9x(t) = e^{2t}\cos(t)
[/tex]

[tex]y_p(t) = \alpha e^{(2+i)t}[/tex]

Me donne :

[tex]0 = \frac{1}{2}[/tex]

Donc je monte d'un degré :

[tex]y_p(t) = (\alpha t + \beta) e^{(2+i)t}[/tex]

Je calcul mes dérivées :
[tex]y_p'(t) = \alpha e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)e^{(2+i)t}[/tex]
[tex]y_p''(t) = 2\alpha(2+i)e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)^2 e^{(2+i)t}[/tex]

Je reporte :

[tex]2\alpha(2+i)e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)^2e^{(2+i)t} - 10\left(\alpha + (\alpha t + \beta)(2+i)\right)e^{(2+i)t} + 9(\alpha t + \beta)e^{(2+i)t} = \frac{1}{2}e^{(2+i)t}[/tex]
[tex]2\alpha(2+i) + (\alpha t + \beta)(2+i)^2 - 10\left(\alpha + (\alpha t + \beta)(2+i)\right) + 9(\alpha t + \beta) = \frac{1}{2}[/tex]

Et à partir de là je ne sais pas quoi poser comme système.

Auriez vous des pistes ? J'aimerais comprendre pourquoi je suis bloqué à ce stade avec cette méthode.

Merci d'avance, bonne journée,
Mathieu.