Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Non, je n'ai pas oublié la mesure de Lebesgue. J'aurais pu écrire $d\lambda$ (mais à ce moment là je l'aurais aussi écrit à droite) pour préciser que j'intègre par rapport à la mesure de Lebesgue, mais personnellement je n'écris jamais $\lambda(dx)$ (peut-être que d'autres ici le font).

Donc je ne pourrais pas t'expliquer cette notation. Comme je l'ai dit dans un message précédent, ce qui me gêne vraiment, c'est de ne pas utiliser la même notation du côté gauche et du côté droit, alors qu'il s'agit du même type d'intégrale (une intégrale de Lebesgue). Je veux bien que l'on veuille insister à gauche qu'on intègre sur un borélien et non sur un segment, mais c'est la seule justification que je vois.

En tous cas, tu devrais faire comme Michel te l'a conseillé : commencer par démontrer que, pour $a<b,$
$$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(nx)dx=\frac{b-a}T\int_0^T f(t)dt$$
(en tenant compte de l'indication de Michel au post #4).

F.

Bonjour,

  Pourquoi y aurait-il de l'intégrale de Riemann là dedans. Tu pars d'une fonction borélienne, rien ne te dit qu'elle est Riemann-intégrable.
Et d'ailleurs, je suis gêné par tes notations. Pourquoi écrire $\lambda(dx)$ à gauche et $dt$ à droite?

F.

Oui, essaie de nouveau. Et souviens-toi que les intégrales de $f$ sur des intervalles de longueur $T$ sont toutes les mêmes.

Bonsoir,
Tu peux commencer en prenant pour $A$ un intervalle borné. En faisant un changement de variables dans l'intégrale de gauche, on peut voir ce qui se passe.