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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 09-10-2023 21:08:41
Une fonction strictement monotone est injective, et une fonction injective est toujours bijective sur son image.
La continuité apporte le TVI, et le fait que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- Eust_@che
- 09-10-2023 20:52:06
Bonsoir tous le monde !
Est-ce qu'il ne serait pas question du "théorème de la bijection" ?
Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, strictement monotone et continue, alors elle admet une bijection réciproque $f^{-1} \colon f(I) \longrightarrow I$, et $f^{-1}$ est continue.
J'ai dû mal à voir dans quel contexte pourrait survenir une telle proposition sinon.
E.
- bensaad azza
- 09-10-2023 19:40:12
salut merci pour tous
- abdo abdo
- 09-10-2023 19:01:55
Merci infiniment Michel Coste et Bernard-math pour la discussion.
- Bernard-maths
- 09-10-2023 18:11:45
Bonsoir !
la question posée par abdo abdo est pertinente, pour un élève sc.math ^_^, et la réponse de Michel est "sympathique".
En effet la continuité n'est pas indispensable, mais elle cantonne les études à des situations sympas ...
Ce qui compte surtout c'est la monotonie stricte, sur le domaine d'étude, pour avoir une réciproque !
Bernard-maths
- abdo abdo
- 09-10-2023 16:24:01
Merci.
Pourquoi donc, demander aux élèves de la terminale de vérifier la continuité comme condition nécessaire dans la définition/prop de la fonction réciproque? C'est une question (naturelle) d'un élève sc.math ^_^.
- Michel Coste
- 09-10-2023 15:49:05
Parce que c'est plus sympa. Une partie de la droite réelle pleine de trous (il peut y en avoir une infinité), c'est moyen comme domaine de définition d'une fonction. Tu ne trouves pas ?
- abdo abdo
- 09-10-2023 15:01:24
Bonjour, merci.
Oui pour avoir un intervalle comme image, et par conséquence, un intervalle pour le départ de $f^{-1}$.
Mais pourquoi on a besoin d'un intervalle comme départ de $f^{-1}$
- Michel Coste
- 09-10-2023 14:47:19
Bonjour,
Une fonction strictement croissante est bijective sur son image, et a donc une fonction réciproque définie sur cette image. Mais, même si le domaine de définition de la fonction est un intervalle, son image n'est pas un intervalle si la fonction fait des sauts.
- abdo abdo
- 09-10-2023 14:34:00
Soit f est une fonction continue, strictement monotone. Alors f admet une fonction réciproque.
Quel est le rôle de la condition de la continuité?