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Bonjour,

(Bizarre non ? Moi, je n'ai pas eu les yeux aveuglés, ni les doigts écorchés,)

Soit $n\in \mathbb N$, n>=2 et Matn*n l’espace vectoriel des matrices réelles n*n, muni
d’une norme matricielle convenable. On dénote par I la matrice identité et par 0 la matrice
nulle. Soit
f : Matn*n * Matn*n ->Matn*n
($X, A) |->X^2 - A$
a) Expliciter f(Id, Id)
b) Justifier que f différentiable en tout point et calculer sa différentielle.
c) Soit r€ (0, 1). Montrer que pour toute matrice K avec ||K|| <=r il existe une unique
matrice ||H||<= r telle que (Id +H)^2=Id+K
(Indication : introduire l’application
ϕ : H € B(0, r) |->(K -H^2)/2      et montrer qu’elle est r-contractante).
d) On note g : B(Id, r) |-> B(Id, r) l’application g : A = Id + K |->g(A)=I + H où
H vérifie (Id +H)^2=Id+K à ce que g(A)^2=A
On cherche à montrer que g est différentiable en Id de différentielle K € Matn*n |-> K/2 € Matn*n. Soit K € B(0, r) et
H = g(Id + K) - g(Id).
1. Montrer que H -(1/2)K=-(1/2)H^2
2. Montrer que ||H||<= ||K||.
3. En déduire que dg(Id) . K =(1/2)K

J'aurais besoin d'aide pour la question c) et d)1. et d)2. s'il vous plait.