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Oui pour calculer W les formules $1+2+...+N=N(N+1)/2$ et $1^2+2^2+3^3+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6$
je ne trouve pas de forme factoriser

Existe-t-il des logiciels de maths qui donnent  une forme close de W ?

Non, ce n'est pas juste ; tu as oublié le $j\leq p(k)$.

Ce qui est juste, c'est $$W=\sum_{j\in \{1,\ldots,n\},\ p\in S_n;\ j\leq p(k)} p(j) = \sum_{j=1}^n\sum_{p\in S_n;\ j\leq p(k)} p(j)\;.$$
Et on peut remarquer que $ \sum_{p\in S_n;\ j\leq p(k)} p(j)$, c'est $n!$ fois l'expérance de ma variable aléatoire $X_j$. Tu peux travailler directement avec cette expresion, si tu te sens plus à l'aise.

L'indicatrice $\mathbf 1_{j\leq p(k)}$ sélectionne les $n+1-j$ valeurs $j,j+1,\ldots,n$ pour $p(k)$. Si $p(k)=\ell$ est une de ces valeurs, $p(j)$ peut prendre de manière équiprobable toutes les valeurs de $1$ à $n$, sauf $\ell$, ce qui fait $n-1$ valeurs.
À partir de ces constatations et avec un peu de soin, on peut calculer $\mathbf E(X_j)$.

Dis donc, on n'est pas dans le même fuseau horaire ou alors tu as des insomnies !

Ici les variables aléatoires $X$ sont définies sur l'ensemble des permutations $S_n$ (toutes les permutations étant équiprobables, chacune de proba $\dfrac1{n!}$). L'espérance d'une telle variable aléatoire $X$ est la moyenne des valeurs $X(p)$ pour toutes les permutations $p$ : $\mathbf E(X)= \dfrac1{n!}\,\sum_{p\in S_n}X(p)$. Tu vois donc que ce tu as à calculer est l'espérance de la variable aléatoire $p\mapsto T(p,k)$. Or cette variable aléatoire est la somme des variables aléatoires $X_j=\mathbf 1_{j\leq p(k)}\,p(j)$ (rappelons que la fonction indicatrice $\mathbf 1_{j\leq p(k)}$ vaut $1$ pour les permutations $p$ telles que $j\leq p(k)$ et $0$ pour les autres). Et on sait que l'espérance d'une somme est la somme des espérances (propriété de linéarité de l'espérance).

Venons-en au calcul de l'espérance de $X_k$. $p(k)$ prend de manière équiprobable les valeurs $1,2,\ldots,n$ (il y a autant de permutations qui envoient $k$ sur $1$ que $k$ sur $2$ que ..., à savoir $(n-1)!$). La fonction indicatrice $\mathbf 1_{k\leq p(k)}$ sélectionne les permutations qui prennent en $k$ une des $n+1-k$ valeurs $k,k+1,\ldots, n$, et la moyenne de ces valeurs est $(k+n)/2$. Donc
$$\mathbf E(X_k) = \frac{n+1-k}{n}\times \frac{k+n}{2}\;.$$
Le calcul de $\mathbf E(X_j)$ pour $j\neq k$ est un peu plus compliqué. Ici on utilise le fait que $p(k)$ prend de manière équiprobables les valeurs $1,2,\ldots, n$ et qu'ensuite $p(j)$ prend de manière équiprobable les $n-1$ valeurs différentes de $p(k)$.

En fait je ne suis pas à l’aise avec cette méthode pour calculer $E(X_i)$, mais je peux essayer de voir commenter  ça marche
je sais si une v.a. X prend ses valeurs $a(1),…,a(t)$ de probabilité $q(1),…,q(t)$ alors
$Ei(X)= a(1)p(1)+…+a(t)p(t)$.
Dans $X_k(p)=1_{j\leq p(k}p(j)$ donne que cette v.a. prend comme valeurs $1$ si $j \leq p(k)$ et $0$ si $j>p(k)$ de probabilités
$q(1)=…=q(t)=1/n!$( je ne suis pas sûr) et  je ne vois pas ce qu’il faut choisir pour t ?

L'utilisation du formalisme de l'espérance d'une somme de varibles aléatoires permet justement de "permuter les sommes" en ayant une bonne visibilité de ce qu'on fait.
Pourquoi refuses tu cette voie ?