Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Une autre façon de voir les choses.
Où en est-on ? On a fixé $i<j$, et on veut montrer que $$\sum_{m\in B} m(i,i)\times m(j,j) = \sum_{m\in B} m(i,j)\times m(j,i)\;.$$On sait qu'on peut reparamétrer une somme au moyen d'une bijection de l'ensemble d'indices sur lui-même, autrement dit une permutation de l'ensemble d'indices : si $\sigma$ est une permutation de $B$, alors $$\sum_{m\in B} m(i,i)\times m(j,j) = \sum_{m\in B} \sigma(m)(i,i)\times \sigma(m)(i,j)\;.$$
L'idée serait alors de trouver une permutation $\sigma$ de l'ensemble $B$ des matrices à coefficients dans $A$ telle que, pour tout $m\in B$,  $\sigma(m)(i,i)=m(i,j)$ et $\sigma(m)(j,j)=m(j,i)$. Est-ce difficile ? On s'intéresse uniquement aux quatre coefficients aux emplacements
$$\begin{array}{ccc} (i,i)&\cdots &(i,j)\\\vdots&&\vdots\\(j,i)&\cdots&(j,j)\end{array}$$et on cherche un $\sigma$ qui bidouille ces quatre emplacements-là.

Plutôt $\textrm{card}(A)^{n^2-2}$. Qu'obtiens-tu alors? Peux-tu faire la même chose avec l'autre somme?

Bonjour,

  C'est à ce moment que tu dois utiliser la structure de ton ensemble $B$ : il s'agit de toutes les matrices (de taille $n\times n$) à coefficients dans $A.$ Ta somme $\sum_{m\in B},$ on peut l'écrire comme $n^2$ sommes imbriquées :
$$\sum_{m(1,1)\in A}\sum_{m_(1,2)\in A}\cdots \sum_{m_(n,n)\in A}m(i,j)m(j,i).$$
On peut très nettement simplifier cela. Sur ces $n^2$ sommes, il y en a deux qui sont particulières : celles faisant intervenir $m(i,j)$ et $m(j,i)$. Pour les autres, on ne fait une somme que sur des termes constants.
Pourrais-tu donc remplacer mes $n^2$ sommes ci-dessus par simplement 2 sommes????

Indice : si tu veux commencer par plus facile, mais la démarche est la même, comment écrire avec une seule somme
$\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N} u_n$ ?

F.

PS : Peut-être que Michel donnera une explication plus claire que la mienne!

Bonjour Michel
Je pose
$g=\sum_{m\in B} \sum_{1\leq i<k<leq n}m(i,k)m(k,i)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\sum_{m\in B}m(i,j)m(j,i)$
$d=\sum_{m\in B}\sum_{1\leq i<j\leq n}m(i,i)m(j,j)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\sum_{m\in B}m(i,i)m(j,j)$
le fait que c’est m(i,j)m(j,i) et m(i,i)m(j,j) ça me gêne. Comment voir que c’est égal ?

je ne vois pourquoi c’est égale ?

Tu as oublié l'indice i dans ta première ligne.
Tu as oublié de développer dans la deuxième (avec les indices i,k (si tu préfères k à j).
Tu verras alors des sommes sur m et des sommes sur i,k.

Bonjour,

Ça se fait assez bien en mettant les mains dans le cambouis et en exprimant les deux sommes au moyen des coefficients [tex]m(i,j)[/tex].
À un moment il convient d'intervertir les sommes sur [tex]m[/tex] et les sommes sur les indices [tex]i,j[/tex].
Retrousse-toi les manches et vas-y !

Bonjour
A un ensemble de nombre réels, B l'ensemble des matrices de taille nxn a coefficients dans A
Comment prouver $\sum_{ m \in B} tr(m^2) = \sum_{ m \in B} (tr(m))^2$
je pensais trigonaliser les matrices dans C mais ça ne donne rien
Cordialement